Wyciąć dwa maksymalne rozłączne koła z kartki formatu A4

[kruszewski]

Zadanie jest takiej treści:
"Wyciąć z kartki A4 dwa koła(oczywiście rozłączne)tak, aby pozostało jak najmniej skrawków papieru."
a to nie oznacza że koła te mają być jednakowej średnicy.
Można wyciąć koła o innych promieniach i mniejszej reszcie powierzchni.
W.Kr.

[Elayne]

To może inaczej to ujmę.
Co się stanie gdy jedno z kół na kartce papieru narysuję w pięciu kawałkach a po wycięciu złożę je w jedno koło?

[kruszewski]

Nic się nie stanie. Ale zawszeć nie jest to wycięcie koła jako figury.
W.Kr.

[kerajs]

o rysunek do tych wzorów?

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(0,10)--(15.746,10)--(15.746,0)--cycle;
\draw node[above] at (7,10) {$sqrt(2) a$};
\draw node[right] at (15.8,5) {$ a$};

\draw (5,5)circle(5);
\draw (5,5)--(8.535,8.535) node[above] at (7,7.2) {$0,5 a$};

\draw (12.746,3)circle(3);
\draw (12.746,3)--(14.867,5.121) node[above] at (13.867,4.2) {$r$} ;

\draw[blue] (5,5)--(5,3)--(12.746,3)--cycle;
\draw[blue] node[right] at (12.746,3) {$B$};
\draw[blue] node[left] at (5,5) {$A$};
\draw[blue] node[left] at (5,3) {$C$};
\end{tikzpicture}}\)

\(\displaystyle{ \left| AB\right|= \frac{1}{2}a+r \\
\left| AC\right|= \frac{1}{2}a-r \\ \\
\left| BC\right|= \sqrt{2}a -\frac{1}{2}a-r \\
\left| AB\right|^2=\left| AC\right|^2+\left| BC\right|^2\\
\left(\frac{1}{2}a+r \right)^2= \left(\frac{1}{2}a-r \right)^2+\left( \sqrt{2}a -\frac{1}{2}a-r\right)^2}\)

Edit
Oczywiście Pan Kruszewski ma rację . W moim poscie z 3 marca 2016 o 13:37 zamiast

\(\displaystyle{ r_1=a( \sqrt{2}+\frac{a}{2}- \sqrt[4]{8} ) \vee r_2=a( \sqrt{2}+\frac{a}{2}+ \sqrt[4]{8} )}\)

powinno być:
\(\displaystyle{ r_1=a( \sqrt{2}+\frac{{\red 1}}{2}- \sqrt[4]{8} ) \vee r_2=a( \sqrt{2}+\frac{{\red 1}}{2}+ \sqrt[4]{8} )}\)
SORRY.

[kruszewski]

To jest takie wzajemne położenie i miary obu tych kół spełniające zadany warunek "minimum odpadu".
Dziękuję.
W.Kr.
PS. Poprzednie równanie nie podobało mi się ze względu na wymiar (jednostki).

[norwimaj]

Wyszło mi, że promienie wyniosą \(\displaystyle{ r_1=\frac{1}{2}a}\) oraz \(\displaystyle{ r_2=a(\frac{1}{2}+\sqrt{2}- \sqrt[4]{8})}\)

W szczegóły nie wnikam, ale wygląda to sensownie. Skoro suma promieni jest ustalona, a maksymalizujemy sumę kwadratów promieni, to powinniśmy wybrać rozwiązanie najbardziej niesymetryczne.

[kristoffwp]

Ja to zadanie wrzuciłem, chociaż je zrobiłem. Właściwie to chyba dlatego, że po prostu spodobało mi się. Bo takie ładne jest, niby wycinanie z kartki, a jednak trochę trzeba policzyć. Najciekawszą częścią jest ustalenie, że jedno z kół jest maksymalne. Ja do takich problemów podchodzę tak, że niczego z góry nie zakładam. Po prostu zbadałem odpowiednią funkcję.

[kruszewski]

Bo tak należało postąpić. Intuicja i tzw. oko często są zawodne.
Jest to zadanie z grupy zadań na ekstrema.
W.Kr.