wzór na pole wycinka koła pytanie

[wielkireturner]

SKąd wynika wzór na pole wycinka koła: \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} RL}\), \(\displaystyle{ R}\) - promień, \(\displaystyle{ L}\) - długość łuku?

[szw1710]

Jeśli wiesz, że pole wycinka koła o kącie środkowym \(\displaystyle{ \phi}\) ma wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}R^2\phi}\), a długość łuku o tym kącie to \(\displaystyle{ L=R\phi}\), to jesteś w domu.

Długość łuku można policzyć wiedząc, co to jest miara łukowa kąta. To właśnie stosunek długości łuku do promienia, który go zakreślił. Więc kąt ma \(\displaystyle{ \phi}\) radianów wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \frac{L}{R}=\phi}\).

Pole wycinka można też wyznaczyć całką podwójną przechodząc do współrzędnych biegunowych. Długość łuku obliczasz całką krzywoliniową nieskierowaną. Wszystko się da zrobić.

Można też dzielić łuk na \(\displaystyle{ n}\) równych części i przybliżać go odcinkami łamanej. Przejdziesz do granicy przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) - też policzysz długość. To samo z polem. Więc wszystko tak czy inaczej da się zrobić.

[kruszewski]

Wynika z zauważenia, że pole wycinka ma się tak do pola koła którego jest częścią, jak się ma kąt środkowy \(\displaystyle{ \varphi}\) wycinka (kąt między jego ramionami) do kąta pełnego, a ten ma się tak do kąta pełnego jak długość łuku wycinaka do długości obwodu koła. Zatem: \(\displaystyle{ P_w= \frac{L_w}{2 \pi R} \cdot \pi R^2= \frac{1}{2} L \cdot R}\).
W.Kr.
Ups, nie zauważyłem odpowiedzi Pana szw1710. Przepraszam ale już nie będę się wycofywał.