W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) narysowano środkową \(\displaystyle{ AD}\). Wiadomo, że miara kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) jest równa \(\displaystyle{ 30}\) stopni, a przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) - \(\displaystyle{ 15}\) stopni. Oblicz miarę kąta \(\displaystyle{ DAC}\).
Bardzo proszę o jakąś wskazówkę jak to rozwiązać
kąty w trójkącie
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 23 kwie 2014, o 14:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
kąty w trójkącie
Ostatnio zmieniony 25 lut 2016, o 02:06 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj LaTeX-a do zapisu wyrażeń matematycznych
Powód: Stosuj LaTeX-a do zapisu wyrażeń matematycznych
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
kąty w trójkącie
Niech \(\displaystyle{ BC=2a}\)
Z tw. sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wynika że \(\displaystyle{ \frac{AC}{\sin30^0}=\frac{BC}{\sin135^0}}\) wychodzi że \(\displaystyle{ AC=a\sqrt2}\)
Z własności środkowej: \(\displaystyle{ BD=DC=a}\)
W celu obliczenia szukanego kąta piszesz tw. sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin DAC}=\frac{a\sqrt2}{\sin ADC}}\)
Ze względu na to że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=135^0=\sphericalangle BAD+\sphericalangle DAC}\), to można uznać że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAD=x}\), oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle DAC=135^0-x}\)
Z sumy miar kątów w trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\) wynika, że \(\displaystyle{ 135^0-x+15^0+\sphericalangle ADC=180^0}\), stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC=x+30^0}\).
Z równania \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin DAC}=\frac{a\sqrt2}{\sin ADC}}\) wynika zatem, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \left( 135^0-x\right) }=\frac{a\sqrt2}{\sin \left( x+30^0\right) }}\)
dzielimy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \left( 135^0-x\right) }=\frac{\sqrt2}{\sin \left( x+30^0\right) }}\)
mnożysz teraz to na krzyż, wykorzystujesz wzory na sinus sumy i różnicy kątów, i rozwiązujesz równanie trygonometryczne w przedziale \(\displaystyle{ x\in (0^0, 180^0)}\)
powinno wyjść że \(\displaystyle{ x=105^0}\)
a z tego wynika że \(\displaystyle{ \sphericalangle DAC=135^0-x=135^0-105^0 = \boxed{30^0}}\)
Z tw. sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wynika że \(\displaystyle{ \frac{AC}{\sin30^0}=\frac{BC}{\sin135^0}}\) wychodzi że \(\displaystyle{ AC=a\sqrt2}\)
Z własności środkowej: \(\displaystyle{ BD=DC=a}\)
W celu obliczenia szukanego kąta piszesz tw. sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin DAC}=\frac{a\sqrt2}{\sin ADC}}\)
Ze względu na to że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=135^0=\sphericalangle BAD+\sphericalangle DAC}\), to można uznać że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAD=x}\), oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle DAC=135^0-x}\)
Z sumy miar kątów w trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\) wynika, że \(\displaystyle{ 135^0-x+15^0+\sphericalangle ADC=180^0}\), stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC=x+30^0}\).
Z równania \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin DAC}=\frac{a\sqrt2}{\sin ADC}}\) wynika zatem, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \left( 135^0-x\right) }=\frac{a\sqrt2}{\sin \left( x+30^0\right) }}\)
dzielimy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \left( 135^0-x\right) }=\frac{\sqrt2}{\sin \left( x+30^0\right) }}\)
mnożysz teraz to na krzyż, wykorzystujesz wzory na sinus sumy i różnicy kątów, i rozwiązujesz równanie trygonometryczne w przedziale \(\displaystyle{ x\in (0^0, 180^0)}\)
powinno wyjść że \(\displaystyle{ x=105^0}\)
a z tego wynika że \(\displaystyle{ \sphericalangle DAC=135^0-x=135^0-105^0 = \boxed{30^0}}\)