Podział równoległoboku na trzy równe części

[Poszukujaca]

Jak podzielić równoległobok na trzy równe części dwoma prostymi, które przechodzą przez jeden wybrany wierzchołek tego równoległoboku?

[bakala12]

Przyjmijmy, że równoległobok to \(\displaystyle{ ABCD}\) i proste prowadzimy z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Obierzmy na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\) odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) tak, aby zachodziły równości:
\(\displaystyle{ BE=2EC}\) i \(\displaystyle{ DF=2CF}\).
Wówczas proste \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AF}\) dzielą równoległobok na trzy figury o równych polach. Łatwo to uzasadnić stosując wzory na ple trójkąta i pole równoległoboku z sinusem kąta.

[kruszewski]

Na trzy części o równych polach
Bez sinusa.
\(\displaystyle{ |AE| = \frac{2}{3}|AB|}\)
\(\displaystyle{ |FC|= \frac{2}{3} |BC|}\)
Wtedy \(\displaystyle{ |FH|= \frac{2}{3} |DG|}\)
Pola trójkątów \(\displaystyle{ AED \ i \ CDF}\) są sobie równe i mają pola równe trzeciej części pola równoległoboku. Stąd pole czworoboku \(\displaystyle{ EBFD}\) równe jest trzeciej części pola równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\).