Wyznacz promień okręgu położonego wewnątrz kwadratu i stycznego do wszystkich narysowanych okręgów. Bok kwadratu wynosi 4.
Pomyślałem o przekątnej kwadratu. Wychodzi:
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{2} - 4}\)
Bo odejmuję średnice dwóch okręgów, ale zostają dwa tycie miejsca, które jeszcze muszę odjąć.
ma ktoś jakiś pomysł?
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych
W te dwa miejsca dorysuj po ćwiartce małego okręgu. Wtedy masz
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{2}=r+2R+2r+2R+r \\ 4 \sqrt{2} =2d+4}\)
Inaczej
Środki dużych okręgów tworzą kwadrat o boku 2.
Na jego przekątnej masz dwa promienie dużych okręgów i dwa promienie małego okręgu.
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}= 2R+2r \\
2 \sqrt{2}= 2 \cdot 1+d}\)
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{2}=r+2R+2r+2R+r \\ 4 \sqrt{2} =2d+4}\)
Inaczej
Środki dużych okręgów tworzą kwadrat o boku 2.
Na jego przekątnej masz dwa promienie dużych okręgów i dwa promienie małego okręgu.
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}= 2R+2r \\
2 \sqrt{2}= 2 \cdot 1+d}\)
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych
Wiemy, że przekątna to 4 razy mały promień i 4 razy duży promień.
Czyli
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} = 4r + 4 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{2} - 2}\)
Tak ma być?
Czyli
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} = 4r + 4 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{2} - 2}\)
Tak ma być?
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych
Raczej dwa razy duży i dwa razy mały i dwie przekątne małych kwadratów.vergil pisze:Wiemy, że przekątna to 4 razy mały promień i 4 razy duży promień.
Czyli
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} = 4r + 4 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{2} - 2}\)
Tak ma być?
Jeśli tak liczyłeś to może (nie sprawdzałem) masz ok.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych
Niech
\(\displaystyle{ a}\) - bok kwadratu
\(\displaystyle{ r_1}\) - promień każdego z czterech okręgów
\(\displaystyle{ r_2}\) - promień małego okręgu, stycznego do czterech dużych
\(\displaystyle{ b}\) - odcinek
Rozważmy kwadrat opisany na prawym, górnym okręgu. Jego przekątna jest równa oczywiście \(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}}\)
Jeśli odejmiemy od niej średnicę okręgu \(\displaystyle{ 2r_1}\), to ta różnica będzie równa średnicy małego okręgu.
Napiszmy więc:
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}-2r_1=r_2}\)
Naturalnie \(\displaystyle{ r_1= \frac{a}{4}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}-\frac{a}{2}=2r_2}\)
\(\displaystyle{ r_2= \frac{a}{4}\left( \sqrt{2}-1 \right)}\)
ponieważ \(\displaystyle{ a=4}\), mamy
\(\displaystyle{ r_2=\sqrt{2}-1}\)
\(\displaystyle{ a}\) - bok kwadratu
\(\displaystyle{ r_1}\) - promień każdego z czterech okręgów
\(\displaystyle{ r_2}\) - promień małego okręgu, stycznego do czterech dużych
\(\displaystyle{ b}\) - odcinek
Rozważmy kwadrat opisany na prawym, górnym okręgu. Jego przekątna jest równa oczywiście \(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}}\)
Jeśli odejmiemy od niej średnicę okręgu \(\displaystyle{ 2r_1}\), to ta różnica będzie równa średnicy małego okręgu.
Napiszmy więc:
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}-2r_1=r_2}\)
Naturalnie \(\displaystyle{ r_1= \frac{a}{4}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}-\frac{a}{2}=2r_2}\)
\(\displaystyle{ r_2= \frac{a}{4}\left( \sqrt{2}-1 \right)}\)
ponieważ \(\displaystyle{ a=4}\), mamy
\(\displaystyle{ r_2=\sqrt{2}-1}\)
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych
a mnie cały czas wychodzi sqrt{2} -2
piasek101, mógłbys sprawdzic?
-- 23 lut 2016, o 12:54 --
?-- 23 lut 2016, o 17:04 --Ok, juz mam to ja zrobiłem błąd.
piasek101, mógłbys sprawdzic?
-- 23 lut 2016, o 12:54 --
?-- 23 lut 2016, o 17:04 --Ok, juz mam to ja zrobiłem błąd.