Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
vergil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 28 lis 2013, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ziemia

Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych

Post autor: vergil »

Wyznacz promień okręgu położonego wewnątrz kwadratu i stycznego do wszystkich narysowanych okręgów. Bok kwadratu wynosi 4.


Pomyślałem o przekątnej kwadratu. Wychodzi:
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{2} - 4}\)
Bo odejmuję średnice dwóch okręgów, ale zostają dwa tycie miejsca, które jeszcze muszę odjąć.
ma ktoś jakiś pomysł?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych

Post autor: kerajs »

W te dwa miejsca dorysuj po ćwiartce małego okręgu. Wtedy masz
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{2}=r+2R+2r+2R+r \\ 4 \sqrt{2} =2d+4}\)

Inaczej
Środki dużych okręgów tworzą kwadrat o boku 2.
Na jego przekątnej masz dwa promienie dużych okręgów i dwa promienie małego okręgu.
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}= 2R+2r \\
2 \sqrt{2}= 2 \cdot 1+d}\)
Awatar użytkownika
vergil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 28 lis 2013, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ziemia

Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych

Post autor: vergil »

Wiemy, że przekątna to 4 razy mały promień i 4 razy duży promień.

Czyli
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} = 4r + 4 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{2} - 2}\)
Tak ma być?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych

Post autor: piasek101 »

vergil pisze:Wiemy, że przekątna to 4 razy mały promień i 4 razy duży promień.

Czyli
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} = 4r + 4 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{2} - 2}\)
Tak ma być?
Raczej dwa razy duży i dwa razy mały i dwie przekątne małych kwadratów.

Jeśli tak liczyłeś to może (nie sprawdzałem) masz ok.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych

Post autor: Dilectus »

Niech

\(\displaystyle{ a}\) - bok kwadratu

\(\displaystyle{ r_1}\) - promień każdego z czterech okręgów

\(\displaystyle{ r_2}\) - promień małego okręgu, stycznego do czterech dużych

\(\displaystyle{ b}\) - odcinek

Rozważmy kwadrat opisany na prawym, górnym okręgu. Jego przekątna jest równa oczywiście \(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}}\)
Jeśli odejmiemy od niej średnicę okręgu \(\displaystyle{ 2r_1}\), to ta różnica będzie równa średnicy małego okręgu.

Napiszmy więc:

\(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}-2r_1=r_2}\)

Naturalnie \(\displaystyle{ r_1= \frac{a}{4}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{a}{2} \sqrt{2}-\frac{a}{2}=2r_2}\)

\(\displaystyle{ r_2= \frac{a}{4}\left( \sqrt{2}-1 \right)}\)

ponieważ \(\displaystyle{ a=4}\), mamy

\(\displaystyle{ r_2=\sqrt{2}-1}\)

Awatar użytkownika
vergil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 28 lis 2013, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ziemia

Wyznaczenie promienia okręgu stycznego do 4 innych

Post autor: vergil »

a mnie cały czas wychodzi sqrt{2} -2
piasek101, mógłbys sprawdzic?

-- 23 lut 2016, o 12:54 --

?-- 23 lut 2016, o 17:04 --Ok, juz mam to ja zrobiłem błąd.
ODPOWIEDZ