Jaka figura powstanie

[szefio]

Jaka figura powstanie po połączeniu środków sąsiednich boków czworokąta?
Z użyciem wektorów.

[kerajs]

Środek boku AB to K, boku BC to L, CD to M, a boku AD to N.

Z trójkąta ABD masz:
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{AB} + \vec{BD} \ \Rightarrow \ \vec{BD}= \vec{AD} - \vec{AB}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AN}= \vec{AK} + \vec{KN} \ \Rightarrow \ \vec{KN}= \vec{AN} - \vec{AK}= \frac{1}{2} \vec{AD} - \frac{1}{2} \vec{AB}=\frac{1}{2} \vec{BD}}\)

Analogicznie z trójkąta BCD wyjdzie:
\(\displaystyle{ \vec{LM}= \frac{1}{2} \vec{BD}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \left|KN \left|= \right| LM\right|= \frac{1}{2} \left| BD\right|}\)

Z trójkątów ABC i ACD wykaż równość:
\(\displaystyle{ \left|KL\left|= \right| MN\right|= \frac{1}{2} \left| AC\right|}\)

Ta figura to równoległobok.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below] {A}--(4,0) node[below] {B}--(6,8) node[right] {C}--(-2,4) node[left] {D} -- cycle;
\draw[blue] (2,0) node[below] {P} -- (5,4) node[right] {Q};
\draw[green] (2,6) node[above] {R} -- (-1,2) node[left] {S};
\end{tikzpicture}}\)

Wyraź wektor \(\displaystyle{ PQ}\) przez \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\), a \(\displaystyle{ RS}\) przez \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ DA}\)