Długość przekątnej równoległoboku

Lukaszmatgeo · Post autor: **Lukaszmatgeo** » 9 lut 2016, o 19:41

Oblicz długość przekątnej \(\displaystyle{ \left| BD\right|}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym:
\(\displaystyle{ \left[ AB\right] =3 ,\left| AC\right| =5 ,\left[ AD\right]=2 \sqrt{ 2}}\)

Jak na razie nie proszę o rozwiązanie, tylko o wskazówkę jak się do tego zabrać.
Z góry dziękuję

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lut 2016, o 19:55

A da się taki równoległobok zrobić?

Lukaszmatgeo · Post autor: **Lukaszmatgeo** » 9 lut 2016, o 20:12

Jeżeli uważasz, że nie to też dobra wskazówka. Jest to zadanie podyktowane przez nauczycielkę i właśnie się zastanawiam czy się da, a jeśli tak to jak.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lut 2016, o 20:15

Zauważ, że \(\displaystyle{ |AD|=|BC|}\).

Lukaszmatgeo · Post autor: **Lukaszmatgeo** » 9 lut 2016, o 20:43

Czy występują tu jakieś zależności, czy jest zbyt mało danych?
Czy da się jakoś zastosować wzór:
[ciach]

macik1423 · Post autor: **macik1423** » 9 lut 2016, o 20:45

Z twierdzenia kosinusów możesz sobie policzyć kosinus kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\), potem tego kosinusa wykorzystać do policzenia długości odcinka \(\displaystyle{ BD}\) tak samo z twierdzenia kosinusów.

Lukaszmatgeo · Post autor: **Lukaszmatgeo** » 9 lut 2016, o 20:53

Dzięki, mógłbyś jednak poradzić coś jeszcze bo nie do końca rozumiem.

macik1423 · Post autor: **macik1423** » 9 lut 2016, o 21:01

\(\displaystyle{ 5^{2}=3^{2}+(2\sqrt{2})^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}\cos \alpha}\)
spróbuj z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ \cos \alpha}\)
potem użyj jeszcze raz tego twierdzenia do trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\)
(zakładam, że znasz twierdzenie kosinusów)

Lukaszmatgeo · Post autor: **Lukaszmatgeo** » 9 lut 2016, o 21:15

\(\displaystyle{ 5^{2}=3^{2}+(2\sqrt{2})^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ 25=9+8-12\sqrt{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ 8=-12\sqrt{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{-12\sqrt{2}}=\cos \alpha}\)

Ujemny kosinus?

macik1423 · Post autor: **macik1423** » 9 lut 2016, o 21:19

Tak, wyszło na to, że jest to kąt rozwarty. (kosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny)

Lukaszmatgeo · Post autor: **Lukaszmatgeo** » 9 lut 2016, o 21:28

\(\displaystyle{ c^{2}=3^{2}+(2\sqrt{2})^2-12\sqrt{2}\frac{8}{-12\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ c^{2}=9+8+8=25}\)

\(\displaystyle{ c=\left|BD\right| =5}\)

Chyba na tym etapie jest jakiś błąd.

Edit: Źle podstawiłem

macik1423 · Post autor: **macik1423** » 9 lut 2016, o 21:36

Do nowego równania musisz wstawić kosinus innego kąta, przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\), a to nie jest ten sam kąt co \(\displaystyle{ \alpha}\), który był przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\).

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lut 2016, o 21:44

Lukaszmatgeo pisze:
Czy występują tu jakieś zależności, czy jest zbyt mało danych?
Czy da się jakoś zastosować wzór:
[ciach]

Ośmielę się zauważyć, że dane w zadaniu był inne, niż to, co narysowałeś. Dość istotnie inne:

\(\displaystyle{ \left[ AB\right] =3 \left| AC\right| =5 \left[ AD\right]=2 \sqrt{ 2}}\)

to nie to samo co
\(\displaystyle{ \left[ AB\right] =3,\ \left| AC\right| =5, \ \left[ AD\right]=2 \sqrt{ 2}}\)

Lukaszmatgeo · Post autor: **Lukaszmatgeo** » 9 lut 2016, o 21:51

Przepraszam za błąd w zapisie.

Proszę o wskazówkę jak obliczyć cosinus kąta C trójkąta DBC.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lut 2016, o 22:29

Policz kosinuc kąta \(\displaystyle{ B}\). Jest między katami \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) jakaś dośc prosta zależność.