Znany fakt

mint18 · Post autor: **mint18** » 31 sty 2016, o 18:21

Jak udowodnić, że Jeśli okręgi o środkach \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ O'}\) są styczne zewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ M}\), to \(\displaystyle{ OO'M}\) są współliniowe?

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 31 sty 2016, o 18:30

Narysuj sobie to na kartce. Przez punkt M przeprowadź prostą styczną do obu okręgów. Z definicji, promień każdego z tych okręgów jest prostopadły do prostej M. Zatem te dwa promienie są współliniowe.

mint18 · Post autor: **mint18** » 31 sty 2016, o 18:32

no tak rzeczywiście, izi

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 10 lut 2016, o 11:21

PiotrowskiW pisze:Narysuj sobie to na kartce. Przez punkt M przeprowadź prostą styczną do obu okręgów. Z definicji, promień każdego z tych okręgów jest prostopadły do prostej M. Zatem te dwa promienie są współliniowe.

To twierdzenie nie jest takie trywialne. Skąd wiesz, że istnieje prosta styczna do obu okręgów, to znaczy, że jak poprowadzisz styczną do pierwszego okręgu, to skąd wiesz, że jest ona styczna też do drugiego?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 10 lut 2016, o 15:43

Z definicji styczności jako posiadanie jednopunktowej części wspólnej. Jako, że
\(\displaystyle{ O_1 \cap L = \{ M \} = O_1 \cap O_2 = O_1 \cap O_2 \cap L}\). Skoro mamy zawieranie w jedną stronę i równość dla ostatniej pary zbiorów, to zawieranie zachodzi czyli \(\displaystyle{ M \in L \cap O_{2}.}\) gdyby nie było równości \(\displaystyle{ L}\)byłaby sieczną, co z łukowej spójności koła przeczyło by styczności prostej do pierwszego okręgu

a4karo · Post autor: **a4karo** » 10 lut 2016, o 15:50

Kartezjusz pisze:Z definicji styczności jako posiadanie jednopunktowej części wspólnej. Jako, że
\(\displaystyle{ O_1 \cap L = \{ M \} = O_1 \cap O_2 = O_1 \cap O_2 \cap L}\). Skoro mamy zawieranie w jedną stronę i równość dla ostatniej pary zbiorów, to zawieranie zachodzi czyli \(\displaystyle{ M \in L \cap O_{2}.}\) gdyby nie było równości \(\displaystyle{ L}\)byłaby sieczną, co z łukowej spójności koła przeczyło by styczności prostej do pierwszego okręgu

Na mój gust za bardzo machasz rękami a mało dowodzisz. A mieszanie topologicznego pojęcia łukowej spójności z geometrią troche mi zgrzyta. Jeżeli chcemy dowodzić takich elementarnych faktów, to musimy opierac się na precyzyjnych definicjach. No. prosta \(\displaystyle{ x=0}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą \(\displaystyle{ y=x^2}\). Czy to oznacz, że jest do niej styczna?

Z kolei prosta \(\displaystyle{ y=0}\) ma pięć punktów wspólnych z krzywą \(\displaystyle{ y=(x-2)(x-1)x^2(x+1)(x+2)}\) i jest do niej styczna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)