Maturalne plani, okrąg i trapez

[Milczek]

Przerabiam planimetrię i wydaje mi się że dobrze zrobiłem zadanie ale w zbiorze jest inna odpowiedź.

W okrąg wpisano trapez o wysokości h. Kąt między promieniamy okręgu poprowadzonymi do jednego z ramion wynosi \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Wykaż, że pole tego trapezu wyraża się wzorem \(\displaystyle{ P=\frac{9h^2}{\tg\alpha}}\)

Narysowałem, oznaczyłem sobie wszystko aby było mi wygodnie i mi wychodzi \(\displaystyle{ P=\frac{h^2}{\tg\alpha}}\).
Nie mam pojęcia skąd mogło wziąć się to \(\displaystyle{ 9}\). Mógłby ktoś proszę zerknąć na to zadanie?

[lukequaint]

Mnie też tyle wyszło, tzn. \(\displaystyle{ \frac{h^{2}}{\tg\alpha}}}\).

Mamy do czynienia z trapezem równoramiennym. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku (czyli od jednego do drugiego wierzchołka ramienia) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Niech krótsza podstawa ma długość \(\displaystyle{ a}\), a dłuższa \(\displaystyle{ a+2x}\). Wtedy pole tego trapezu jest równe \(\displaystyle{ (a+x)h}\).

Jeśli poprowadzimy ramię kąta wpisanego równolegle do dłuższej podstawy, otrzymamy trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych \(\displaystyle{ h}\) oraz \(\displaystyle{ a+x}\). \(\displaystyle{ \tg\alpha = \frac{h}{a+x}}\), co, biorąc pod uwagę powyższe rozumowanie, daje nam na początku podane pole.

[a4karo]

Dziewiątka jest ewidentnym błędem drukarskim. Wynik można prosto sprawdzić na przypadku granicznym: trójkąta równoramiennego opartego na średnicy.

[Milczek]

Ma Pan na mysli że w przypadku granicznym pole powinno wyjść \(\displaystyle{ h^2}\). Bo \(\displaystyle{ \tg\alpha =1}\) co wskazuje na poprawny wynik tak?

[a4karo]

tak