Matematyka.pl

pomóżcie ludziska

1)

W trapez o kątach ostrych 30* i 60* wpisano okrąg o promieniu r = 1 cm. Oblicz długości podstaw tego trapezu.

2)

Dłuższa z podstaw trapezu prostokątnego ma długość 6 cm. Promień okręgu wpisanego jest równy 1 cm. Oblicz długość drugiej podstawy trapezu


3) Podstawy trapezu prostokątnego mają długość 1 cm i 3 cm. Oblicz Długosci ramion trapezu, jesli mozna w niego wpisac okrąg.


Najważniejsze to 1 i 2

Ad 1:
Naszkicuj sobie trapez ABCD. Górną podstawę CD oznaczymy jako x, a dolną AB jako y. Z punktu D i C na dolną podstawę padają wysokości odpowiednio w punktach D' i C'. Dostajemy więc dwa trójkąty prostokątne.: AD'D i C'BC. Obydwa są trójkątami o kątach wewnętrznych:90, 60 i 30 stopni. Niech AD'=a. Z własności tego typu trójkątów wiemy, że AD=2a i D'D=\(\displaystyle{ \sqrt{3} a}\). Jednak długość wysokość w tym trapezie to podwojona długość promienia okręgu wpisanego w tej trapez. Stąd mamy, że \(\displaystyle{ \sqrt{3} a=1}\), czyli \(\displaystyle{ a= \frac{ 1 }{ \sqrt{3}= \frac{ \sqrt{3}}{3}}\). Podobnie postępując z trójkątem C'DC , gdzie C'C=b otrzymujemy, że b=1. Korzystając z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu wiemy, że suma długości podstaw musi być równa sumie długości ramion trapezu. Stąd otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ x+y=2a +2b}\). Z wcześniejszych obliczeń dostajemy:
\(\displaystyle{ x+( a+x+ b \sqrt{3} )=2a+2b \\ x+ \frac{ \sqrt{3}}{3} + x + \sqrt{3}=2( \frac{ \sqrt{3}}{3} + 1) \\ 2x=\frac{ \sqrt{3}}{3}+2 - \sqrt{3}=2- \frac{2}{3} \sqrt{3}}\)
Stąd \(\displaystyle{ x= 1 - \frac{ \sqrt{3}}{3} , y=1+ \sqrt{3}}\).

Ad 2:
Znów szkicujemy sobie trapez ABCD. Z punktu C na dolną podstawę pada wysokość w punkcie C'. Niech CD=x, wtedy C'B=6-x. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy, że \(\displaystyle{ |CB|=\sqrt{ 4+ (6-x)^2}}\). Znów korzystając z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu układamy równanie \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{ 4+(6-x)^2} = x+6}\), którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x= \frac{12}{5}}\).

Ad 3:
To zadanie rozwiązujesz bardzo podobnie jak zadanie drugie. Ostatecznie powinieneś otrzymać, że krótsze ramię ma długość \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\), a dłuższe \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\).