dowód prosta połowiąca odcinek

[wielkireturner]

Okrąg \(\displaystyle{ \Gamma}\) jest styczny do prostej \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), cięciwa \(\displaystyle{ AB}\) tego okręgu jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ k}\), punkt \(\displaystyle{ C}\) należy do prostej \(\displaystyle{ k}\). Proste \(\displaystyle{ AC,BC}\) przecinają okrąg \(\displaystyle{ \Gamma}\) w drugich punktach \(\displaystyle{ E,F}\). Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ EF}\) połowi odcinek \(\displaystyle{ CD}\).
Przy dowodzie powinno się skorzystać z twierdzenia o cięciwie i stycznej, ale ja tego nie widzę.

[Pinionrzek]

Ponieważ \(\displaystyle{ AB \parallel CD}\), więc \(\displaystyle{ \angle BCD= \angle ABC= \angle AEF}\). To z kolei na mocy wspomnianego przez Ciebie twierdzenia implikuje, że okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) opisany na \(\displaystyle{ \triangle CFE}\) jest styczny do \(\displaystyle{ CD}\). Prosta \(\displaystyle{ EF}\) jest więc osią potęgową okręgów \(\displaystyle{ \Gamma}\) i \(\displaystyle{ \omega}\). Zatem jeżeli \(\displaystyle{ M=CD \cap EF}\), to \(\displaystyle{ MC^2=MF \cdot ME=MD^2}\).