Równania stycznych do linii

[olkaaa]

Nie miałam do czynienia z tego typu zadaniem, a nigdzie niestety nie znalazłam analogicznego by przeanalizować... Proszę o pomoc

Zadanie 1
Napisać równania stycznych do linii:
\(\displaystyle{ y=\arctan (2+\sin x)-\arctan (1+\sin x)}\) w punktach przecięcia tej linii z prostą \(\displaystyle{ y= \frac{ \pi }{4}}\)


Nie wiem za bardzo jak poradzić sobie tutaj z modułem...
Zadanie 2
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=|x^{2}-4|}\) w punkcie o odciętej \(\displaystyle{ x_{0}=1}\)

[szw1710]

1. Zwyczajnie oblicz pochodną i skorzystaj z równania stycznej.
2. W otoczeniu \(\displaystyle{ x_0=1}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-4}\) ma stały znak.

[SidCom]

Ad.2
W przedziale \(\displaystyle{ \langle -2;2 \rangle}\) masz do czynienia z funkcją \(\displaystyle{ y=-x^2+4}\)

[olkaaa]

Ok, dzięki, drugie rzeczywiście
A w pierwszym - nie bardzo jak zinterpretować warunek z przecięciem tej prostej, jak z tego wywnioskować \(\displaystyle{ x_{0}}\), stanęłam w punkcie gdzie mam obliczoną pochodną i niezupełnie kontroluję zadanie chyba...

[SidCom]

Ad.2
Pochodna w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\)
\(\displaystyle{ y' \left( x_0 \right) =-2x_0=-2}\)

Ogólnie styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( x_0,f \left( x_0 \right) \right)}\) ma równanie : \(\displaystyle{ y-f \left( x_0 \right) =f' \left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right)}\)

po wstawieniu: \(\displaystyle{ y-3=-2 \left( x-1 \right)}\) czyli \(\displaystyle{ y=-2x+5}\)

[olkaaa]

Tak, tak, dzięki, drugie mi wyszło O pierwsze pytam

[kerajs]

Czyli pytasz o punkt/punkty przez który należy przeprowadzić styczną.

\(\displaystyle{ \arctan (2+\sin x)-\arctan (1+\sin x)=\frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \tan \left[ \arctan (2+\sin x)-\arctan (1+\sin x)\right] =\tan\frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\tan \left[ \arctan (2+\sin x)\right]-\tan \left[ \arctan (1+\sin x)\right]}{1+\tan \left[ \arctan (2+\sin x)\right]\tan \left[ \arctan (1+\sin x)\right]}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ (2+\sin x)- (1+\sin x)}{1+(2+\sin x) (1+\sin x)} =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+(2+\sin x) (1+\sin x)} =1\\
1+(2+\sin x) (1+\sin x)=1 \\ (2+\sin x) (1+\sin x)=0 \\sin x=-1 \\ x= \frac{-\pi }{2}+k2 \pi \ \ , \ \ k \in \CC}\)

Pewnie dalej poradzisz sobie sama.