trójkąt równoramienny wpisany w okrąg

[Rolender]

Przy jakiej długości wysokości trójkąt równoramienny wpisany w okrąg o promieniu R ma największe pole?

odpowiedź jest \(\displaystyle{ h= \frac{3}{2} R}\)

[Zahion]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ r}\) drugi promień tj. okręgu wpisanego w trójkąt. Mamy wtedy nierówność \(\displaystyle{ R \ge 2r = \frac{2ah}{2a+b }}\) Otóż, jeżeli udowodnimy, że może zajść równość to mamy odpowiedz. Równość zachodzi wtedy gdy trójkąt jest równoboczny, skąd \(\displaystyle{ a = b}\), skąd \(\displaystyle{ R = 2r = \frac{2h}{3}}\).