W okręgu o promieniu r dana jest średnica AB a na niej punkt C, który dzieli ją w stosunku 1:3. Rozważamy cięciwy PQ tego okręgu przechodzące przez punkt C. Znajdź długości PC, CQ, jeśli długość cięciwy PQ jest: a)minimalna ,b)maksymalna ,c)równa 7r/4
Wydzieliłam Twój temat.
Lady Tilly
Okrąg i średnica
-
JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Okrąg i średnica
Podpunkty a) i b) są dosyć oczywiste - cięciwa \(\displaystyle{ PQ}\) jest odpowiednio prostopadła do \(\displaystyle{ AB}\) lub pokrywa się z \(\displaystyle{ AB}\) .
c)
Z tw. o odcinkach siecznych wynika, że \(\displaystyle{ PC\cdot CQ=AC\cdot CB}\).
Jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ PC=x>0}\) , to \(\displaystyle{ CQ=\frac{7r}{4}-x}\)
oraz
\(\displaystyle{ x\cdot ft(\frac{7r}{4}-x\right)=\frac{r}{4}\cdot \frac{3r}{4}}\).
co jest równoważne
\(\displaystyle{ 16x^2-28r\cdot x+3r^2=0\qquad\Delta=592r^2\Rightarrow \sqrt{\Delta}=4\sqrt{37}\cdot r}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{7-\sqrt{37}}{8}\quad\vee\quad x=\frac{7+\sqrt{37}}{8}}\)
skąd odpowiedź
Pozdrawiam
c)
Z tw. o odcinkach siecznych wynika, że \(\displaystyle{ PC\cdot CQ=AC\cdot CB}\).
Jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ PC=x>0}\) , to \(\displaystyle{ CQ=\frac{7r}{4}-x}\)
oraz
\(\displaystyle{ x\cdot ft(\frac{7r}{4}-x\right)=\frac{r}{4}\cdot \frac{3r}{4}}\).
co jest równoważne
\(\displaystyle{ 16x^2-28r\cdot x+3r^2=0\qquad\Delta=592r^2\Rightarrow \sqrt{\Delta}=4\sqrt{37}\cdot r}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{7-\sqrt{37}}{8}\quad\vee\quad x=\frac{7+\sqrt{37}}{8}}\)
skąd odpowiedź
Pozdrawiam