Suma pól trójkątów w równoległoboku

Rafal411 · Post autor: **Rafal411** » 23 lis 2015, o 10:58

Punkty E i F leżą na bokach BC i DA równoległoboku ABCD, przy czym BE = DF. Punkt K leży na boku CD. Prosta EF przecina odcinki AK i BK odpowiednio w punktach P i Q. Wykaż, że suma pól trójkątów APF i BQE jest równa polu trójkąta KPQ.

Jest to zadanie nr 45 ze zbioru Waldemara Pompe.
... /pompe.pdf
Korzystałem z sinusów, symetrii, lecz wciąż czegoś nie widzę...

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 23 lis 2015, o 18:16

Jeśli figury $\displaystyle{ \mathcal{F}}$ i $\displaystyle{ \mathcal{G}}$ mają równe pola, to $\displaystyle{ \mathcal{F}\setminus\mathcal{G}}$ i $\displaystyle{ \mathcal{G}\setminus\mathcal{F}}$ mają równe pola.

Rafal411 · Post autor: **Rafal411** » 25 lis 2015, o 16:16

Przepraszam, ale nie mam tak zaawansowanej wiedzy matematycznej. Czy mógłby Pan podać inną wskazówkę (nie wiem, co oznaczają powyższe symbole)?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 27 lis 2015, o 22:49

Jeśli nie wiesz, co oznaczają symbole, to na jakiej podstawie przypuszczasz, że stoi za nimi zaawansowana wiedza matematyczna?

$\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){120}}
\put(0,0){\line(2,1){80}}
\put(120,0){\line(-1,1){40}}
\put(70,10){\line(-1,1){40}}
\put(70,70){\line(-1,1){40}}
\put(70,10){\line(0,1){60}}
\put(30,50){\line(0,1){60}}
\put(-9,-4){$A$}
\put(121,-3){$B$}
\put(77,42){$C$}
\put(71,69){$D$}
\put(25,113){$E$}
\put(20,46){$F$}
\put(72,6){$G$}
\put(60,36){$H$}
\put(52,30){$I$}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(120,0){\circle*{3}}
\put(80,40){\circle*{3}}
\put(70,10){\circle*{3}}
\put(70,70){\circle*{3}}
\put(30,50){\circle*{3}}
\put(30,110){\circle*{3}}
\put(70,35){\circle*{3}}
\put(53.3333,26.6667){\circle*{3}}
\end{picture}}$
Jeśli trójkąt $\displaystyle{ ABC}$ i równoległobok $\displaystyle{ D{}EFG}$ na rysunku powyżej mają równe pola, to który wielokąt ma większe pole? $\displaystyle{ ABCHGI}$ czy $\displaystyle{ DE{}FIH}$?

Rafal411 · Post autor: **Rafal411** » 28 lis 2015, o 09:36

Mają równe pola. Rozumiem, że mam wyznaczyć taki punkt $\displaystyle{ L}$, że czworokąt $\displaystyle{ LQKP}$ jest równoległobokiem, a następnie dobudować taki trójkąt $\displaystyle{ AMB}$, że $\displaystyle{ [AMB]=[LQKP]}$. Niestety, nie wiem, co dalej...

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 lis 2015, o 10:57

Nic nie trzeba dorysowywać. Przykład miał tylko zobrazować metodę, a wielokąty na moim rysunku nie mają nic wspólnego z treścią zadania.

Rafal411 · Post autor: **Rafal411** » 24 gru 2015, o 07:59

Rozwiązałem. Dziękuję za wskazówkę.