Punkty E i F leżą na bokach BC i DA równoległoboku ABCD, przy czym BE = DF. Punkt K leży na boku CD. Prosta EF przecina odcinki AK i BK odpowiednio w punktach P i Q. Wykaż, że suma pól trójkątów APF i BQE jest równa polu trójkąta KPQ.
Jest to zadanie nr 45 ze zbioru Waldemara Pompe.
... /pompe.pdf
Korzystałem z sinusów, symetrii, lecz wciąż czegoś nie widzę...
Suma pól trójkątów w równoległoboku
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Suma pól trójkątów w równoległoboku
Jeśli figury \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) mają równe pola, to \(\displaystyle{ \mathcal{F}\setminus\mathcal{G}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{G}\setminus\mathcal{F}}\) mają równe pola.
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 26 mar 2015, o 12:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 36 razy
Suma pól trójkątów w równoległoboku
Przepraszam, ale nie mam tak zaawansowanej wiedzy matematycznej. Czy mógłby Pan podać inną wskazówkę (nie wiem, co oznaczają powyższe symbole)?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Suma pól trójkątów w równoległoboku
Jeśli nie wiesz, co oznaczają symbole, to na jakiej podstawie przypuszczasz, że stoi za nimi zaawansowana wiedza matematyczna?
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){120}}
\put(0,0){\line(2,1){80}}
\put(120,0){\line(-1,1){40}}
\put(70,10){\line(-1,1){40}}
\put(70,70){\line(-1,1){40}}
\put(70,10){\line(0,1){60}}
\put(30,50){\line(0,1){60}}
\put(-9,-4){$A$}
\put(121,-3){$B$}
\put(77,42){$C$}
\put(71,69){$D$}
\put(25,113){$E$}
\put(20,46){$F$}
\put(72,6){$G$}
\put(60,36){$H$}
\put(52,30){$I$}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(120,0){\circle*{3}}
\put(80,40){\circle*{3}}
\put(70,10){\circle*{3}}
\put(70,70){\circle*{3}}
\put(30,50){\circle*{3}}
\put(30,110){\circle*{3}}
\put(70,35){\circle*{3}}
\put(53.3333,26.6667){\circle*{3}}
\end{picture}}\)
Jeśli trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i równoległobok \(\displaystyle{ D{}EFG}\) na rysunku powyżej mają równe pola, to który wielokąt ma większe pole? \(\displaystyle{ ABCHGI}\) czy \(\displaystyle{ DE{}FIH}\)?
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){120}}
\put(0,0){\line(2,1){80}}
\put(120,0){\line(-1,1){40}}
\put(70,10){\line(-1,1){40}}
\put(70,70){\line(-1,1){40}}
\put(70,10){\line(0,1){60}}
\put(30,50){\line(0,1){60}}
\put(-9,-4){$A$}
\put(121,-3){$B$}
\put(77,42){$C$}
\put(71,69){$D$}
\put(25,113){$E$}
\put(20,46){$F$}
\put(72,6){$G$}
\put(60,36){$H$}
\put(52,30){$I$}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(120,0){\circle*{3}}
\put(80,40){\circle*{3}}
\put(70,10){\circle*{3}}
\put(70,70){\circle*{3}}
\put(30,50){\circle*{3}}
\put(30,110){\circle*{3}}
\put(70,35){\circle*{3}}
\put(53.3333,26.6667){\circle*{3}}
\end{picture}}\)
Jeśli trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i równoległobok \(\displaystyle{ D{}EFG}\) na rysunku powyżej mają równe pola, to który wielokąt ma większe pole? \(\displaystyle{ ABCHGI}\) czy \(\displaystyle{ DE{}FIH}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 26 mar 2015, o 12:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 36 razy
Suma pól trójkątów w równoległoboku
Mają równe pola. Rozumiem, że mam wyznaczyć taki punkt \(\displaystyle{ L}\), że czworokąt \(\displaystyle{ LQKP}\) jest równoległobokiem, a następnie dobudować taki trójkąt \(\displaystyle{ AMB}\), że \(\displaystyle{ [AMB]=[LQKP]}\). Niestety, nie wiem, co dalej...
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Suma pól trójkątów w równoległoboku
Nic nie trzeba dorysowywać. Przykład miał tylko zobrazować metodę, a wielokąty na moim rysunku nie mają nic wspólnego z treścią zadania.