Czworokąt i okrąg

[Ziomxxd]

Dany jest czworokąt wypukły o następujących własnościach:
w czworokąt można wpisać okrąg,
przekątne czworokąta są prostopadłe.
Dowieść, że jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.

Nie wiem czemu ale wyszło mi że obydwie dzielą się na połowy.Czy to dobrze?

[mint18]

Możliwe, że się pomyliłeś w rachunkach, sprawdź sobie.

Mamy czworokąt ABCD i P będzie punktem przecięcia się przekątnych.
Oznaczmy \(\displaystyle{ AP=a, PB=b, PC=c, PD=d}\)
Zachodzą związki:

\(\displaystyle{ AB+CD=BC+AD}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{c^2+d^2} = \sqrt{b^2+c^2} + \sqrt{a^2+d^2}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+d^2)}}\)
\(\displaystyle{ a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2b^2+b^2d^2+a^2c^2+c^2d^2}\)
\(\displaystyle{ a^2(d^2-b^2)-c^2(d^2-b^2)=0 \Rightarrow (a-c)(a+b)(d-b)(d+b)=0}\) i stąd wniosek.

[Dilectus]

Może zacznij tak:

W czworokąt można go wpisać wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych jego boków są równe.

Jeśli tak, to czworokąt może myć kwadratem, rombem albo deltoidem, a w każdej z tych figur co najmniej jedna przekątna dzieli drugą na pół.

[Ziomxxd]

Rozumiem ale czy tak można na konkursie napisać?

[piasek101]

Raczej nie, bo może istnieć (co nie oznacza, że istnieje) trapezoid (nie będący deltoidem) o własnościach z zadania.

[Dilectus]

Wątpię, że może istnieć trapezoid nie będący deltoidem o przekątnych wzajemnie prostopadłych i taki, w który można wpisać okrąg. Nie wyobrażam sobie takiego trapezoidu, ale ponieważ wyobraźni nie mam wybujałej, więc mogę się mylić.

[mint18]

Dilectus, Bo taki trapezoid nie istnieje, ale to jest przecież właśnie teza zadania