Wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ P}\) w taki sposób, że kąty \(\displaystyle{ PAC}\) i \(\displaystyle{ PBC}\) mają równe miary. \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AB}\), punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są odpowiednio rzutami punktu \(\displaystyle{ P}\) na boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ DK=DL}\).-- 15 lis 2015, o 13:42 --Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem \(\displaystyle{ BP}\), z tw. odwrotnego do tw. Talesa mamy \(\displaystyle{ DN||AP}\) i \(\displaystyle{ MD||PB}\) więc \(\displaystyle{ MDNP}\) jest równoległobokiem, mamy: \(\displaystyle{ \angle PMD=\angle DNP}\). Korzystając z tego, że trójkąty \(\displaystyle{ APK}\) i \(\displaystyle{ PBL}\) są prostokątne dostajemy równości: \(\displaystyle{ MP=DN=KM}\) oraz \(\displaystyle{ MD=NP=NL}\), kąty \(\displaystyle{ \angle KAP=\angle PBL \Rightarrow \angle KMP=\angle PNL}\), czyli trójkąty \(\displaystyle{ KMD}\) i \(\displaystyle{ DNL}\) są przystające, stąd teza.