matury 2015 poziom rozszerzony

[lesmate]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ |BC | = a}\) . Z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) poprowadzono środkową \(\displaystyle{ BD}\) do boku \(\displaystyle{ AC}\) . Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ BD}\) . Przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ S}\) poprowadzono prostą, która przecięła bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\) . Wykaż, że długość odcinka \(\displaystyle{ CP}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{2}{3} a}\) .

[Ania221]

Poprowadź prostą \(\displaystyle{ DE}\) równoległą do prostej \(\displaystyle{ AP}\) przecinającą bok \(\displaystyle{ BC}\) w pkt \(\displaystyle{ E}\)
Z tw Talesa wyznacz odcinki \(\displaystyle{ BP}\) i \(\displaystyle{ PE}\)
Z tw Talesa wyznacz odcinki \(\displaystyle{ CE}\) i \(\displaystyle{ PB}\)

[lesmate]

wskazówka z odciekiem \(\displaystyle{ DE}\)była kluczowa, dziękuj, rozwiązane

[mint18]

Inaczej, niech \(\displaystyle{ A'}\) będzie odbicie symetrycznym punktu \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ B}\), prosta \(\displaystyle{ AP}\) przetnie bok \(\displaystyle{ A'C}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ DB||CA'}\) i \(\displaystyle{ CA'=2BD}\), przy pomocy tw. odwrotnego do tw. Talesa dla trójkąta \(\displaystyle{ AKC}\) stwierdzamy, że \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem \(\displaystyle{ A'C}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem przecięcia się środkowych w trójkącie \(\displaystyle{ AA'C}\) stąd teza.