Dowolny wielokąt.

[mint18]

Wykazać, że dowolny wielokąt wypukły mieści się całkowicie w okręgu przechodzącym przez pewne 3 kolejne jego wierzchołki.

[matmatmm]

Czy aby na pewno?

-- 2 lis 2015, o 12:33 --Można usunąć ten post. Źle zrozumiałem treść. Mają być pewne 3 wierzchołki a nie dowolne.

[mint18]

Dalej nie ma rozwiązania ani nawet pomysłu, ktoś coś?

[Kartezjusz]

Pamiętasz dowód na warunek na okrąg opisany?

[mint18]

A coś więcej?

[matmatmm]

Może tak: Oznaczmy kolejne kąty naszego czworokąta przez \(\displaystyle{ \alpha, \beta,\gamma,\delta}\).
Mamy takie przypadki:
1. \(\displaystyle{ \alpha+\gamma=\beta+\delta=180}\). Wtedy na czworokącie można opisać okrąg i oczywiście zachodzi teza.
2. \(\displaystyle{ \alpha+\gamma>180}\). Wtedy \(\displaystyle{ \alpha >180-\gamma}\), a to oznacza, że punkt \(\displaystyle{ A}\) znajduje się wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BCD}\).
3. \(\displaystyle{ \beta+\delta>180}\). Wtedy \(\displaystyle{ \beta>180-\delta}\) i punkt \(\displaystyle{ B}\) znajduje się wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ACD}\).

[mint18]

Tutaj mamy czworokąt, a pytanie było do dowolnego wielokąta, na to wyżej też wpadłem.

[mint18]

Stare pytanie, ale odświeżam.