nierówność z trójkątami

[wielkireturner]

Niech dane będą dwa trójkąty mające odpowiednio boki \(\displaystyle{ a,b,c}\) oraz \(\displaystyle{ u,v,w}\). Pierwszy ma pole \(\displaystyle{ P}\), drugi \(\displaystyle{ Q}\). Celem jest udowodnienie nierówności \(\displaystyle{ a^{2} (-u^{2}+v^{2}+w^{2})+b^{2}(u^{2}-v^{2}+w^{2})+c^{2}(u^{2}+v^{2}-w^{2}) \ge 16 PQ}\) Niech kąty naprzeciwko \(\displaystyle{ c, w}\) będą to odpowiednio \(\displaystyle{ \gamma, \varphi}\). Po przekształceniu nierówności otrzyma się \(\displaystyle{ a^{2}(2v^{2}-2uv \cos \varphi ) +b^{2}(2u^{2} - 2uv \cos \varphi ) + (a^{2} + b^{2} -2ab \cos \varphi ) 2uv \cos \gamma \ge 4abuv sin \varph \sin \gamma}\).
Z tego mamy otrzymać \(\displaystyle{ 2(a^{2}v^{2}+b^{2}u^{2}) - 4abuv ( \cos \gamma \cos \varphi + \sin \gamma \sin \varphi ) \ge 0}\), ale gdzie podziało się w takim razie \(\displaystyle{ 2uv(a^{2}+b^{2})( \cos \gamma - \cos \varphi )}\)?

[Kartezjusz]

A nie było hasło "dla ustalenia uwagi" lub "bez straty ogólności."

[wielkireturner]

A nie było hasło "dla ustalenia uwagi" lub "bez straty ogólności."

Było hasło "po odpowiednich przekształceniach".

[Kartezjusz]

Kąty możesz uszeregować rosąco. Wtedy cosinusy maleć. Wynika to z faktu, że wyrażenie w nierówności początkowej postaci\(\displaystyle{ f(u, v, w)}\)jest odporne na permutacje (przy przestawieniu odpowiednim a, b, c. Zmienią się jedynie oznaczenia

[wielkireturner]

Kąty możesz uszeregować rosąco. Wtedy cosinusy maleć. Wynika to z faktu, że wyrażenie w nierówności początkowej postaci\(\displaystyle{ f(u, v, w)}\)jest odporne na permutacje (przy przestawieniu odpowiednim a, b, c. Zmienią się jedynie oznaczenia

Masz na myśli, że możemy dobrać takie kąty, by brakujące wyrażenie było dodatnie przy zachowaniu nierówności? No tak.

[Kartezjusz]

Tak. Kwestia ponumerowania boków