trójkąt z równością angażującą boki

[wielkireturner]

Mamy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Niech naprzeciwko kątów \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) będą boki o długości \(\displaystyle{ a,b,c}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ bc = a^{2} - b^{2}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \beta = 2 \alpha}\). (możliwe, że są błędy w kolejności liter w zadaniu)

[kerajs]

Niech \(\displaystyle{ h}\) będzie wysokością prostopadłą do \(\displaystyle{ c}\), a \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) kątami ostrymi. Wtedy:
\(\displaystyle{ b= \frac{h}{\sin \alpha } \ , \ a= \frac{h}{\sin \beta } \ , c=x+y \ , \ x=h \ctg \beta \ , \ y= h \ctg \alpha}\)
Wstawiając to do równania
\(\displaystyle{ bc=a^2-b^2}\)
dostaje się:
\(\displaystyle{ \frac{h}{\sin \alpha } \left( h \ctg \beta + h \ctg \alpha\right) = \left( \frac{h}{\sin \beta }\right)^2 - \left( \frac{h}{\sin \alpha }\right) ^2}\)
Dzieląc przez \(\displaystyle{ h^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha } \left( \ctg \beta + \ctg \alpha\right) = \left( \frac{1}{\sin \beta }\right)^2 - \left( \frac{1}{\sin \alpha }\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta )=\cos^2 \alpha \sin^2 \beta -\cos ^2 \beta \sin^2 \alpha \\ \sin \alpha \sin ( \alpha +\beta )=\sin ( \alpha +\beta )\sin ( -\alpha +\beta ) \\ \sin ( \alpha +\beta )\left[ sin \alpha -\sin ( \beta -\alpha )\right] =0 \\
\alpha +\beta=k \pi \vee \alpha = \beta - \alpha +k 2 \pi \vee \alpha = \pi -(\beta - \alpha) +k 2 \pi}\)
Dla założenia o ostrości kątów \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) jest tylko rozwiązanie
\(\displaystyle{ \alpha = \beta - \alpha \Rightarrow 2\alpha = \beta}\)
Inne przypadki ( \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt prosty, rozwarty)można zrobić analogicznie.