[MIX] mix zadań z geometrii

[mol_ksiazkowy]

1. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest figurą płaską lub przestrzenną, ograniczoną i mającą środek symetrii, to środek ten jest punktem stałym każdej izometrii własnej figury \(\displaystyle{ F}\).
M
2. Czy koło można podzielić trzema cięciwami na siedem części o równych polach ?
3. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ A_1, … A_{2n}}\) są wierzchołkami \(\displaystyle{ 2n}\) kąta wypukłego wpisanego w okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu 1, to wektor \(\displaystyle{ \vec{OA_1}+ \vec{OA_3} +…+ \vec{OA_{2n-1}} - ( \vec{OA_2}+ \vec{OA_4}+…+ \vec{OA_{2n}})}\) ma długość nie większą niż 2.
4. Mając daną łamaną \(\displaystyle{ L}\) można konstruować łamaną \(\displaystyle{ L^{\prime}}\) łącząc środki kolejnych boków łamanej. Czy może tak być, że w ciągu \(\displaystyle{ L, L^{\prime}, L^{\prime \prime},…}\) będzie łamana, która jest rozłączna z \(\displaystyle{ L}\) ?
5. Ile razy może odbić się promień świetlny od dwóch prostych ustawionych do siebie pod kątem \(\displaystyle{ 1^{o}}\) ?
6. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie takim zbiorem punktów przestrzeni, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x}\) przestrzeni istnieje tylko jeden punkt \(\displaystyle{ y \in M}\) o największej od niego odleglości. Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest jednoelementowy.
7. Udowodnić, że spośród pięciu wektorów w przestrzeni, kąt między jakimiś dwoma z nich nie jest rozwarty
8. Dana jest figura: sześciokąt foremny podzielony na 24 przystające trójkąty równoboczne. W wierzchołkach tej figury wpisano dowolnie różne liczby. Udowodnić, że istnieje 7 takich trójkątów, że liczby w ich wierzchołkach rosną w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
9. Jak skonstruować wewnątrz czworokąta punkt, którego suma odległości od boków będzie najmniejszą ? Czy taki punkt jest jedyny ?
10 . Czy środki okręgów opisanych na ścianach czworościanu mogą być punktami tej samej płaszczyzny ?

[kerajs]

Tak na szybko to:
2.

Ukryta treść:    

skopiowane z 392519.htm
Podział na siedem równych pól:
a) Pierwsza cięciwa odcina z koła pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) . Łuk okręgu który odcina odpowiada kątowi środkowemu o mierze \(\displaystyle{ \approx 167 ^{\circ}5 ^{'} 18^{''}}\)
b) Aby podział był możliwy to kolejna cięciwa odcinająca z koła pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) i jednocześnie powinna zawierać fragment wycięty przez pierwszą cięciwę o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{7} \pi r^2}\). Analogicznie trzecia powinna także odcinać z koła pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) i jednocześnie powinna zawierać fragmenty wycięte przez pierwszą i drugą cięciwę o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{7} \pi r^2}\).
c)Gdyby tak było to wewnątrz koła pozostałby trójkąt równoboczny o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{7} \pi r^2}\), a odległość jego boku od środka okręgu wynosiłoby \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{ \pi \sqrt{3} }{7} }r \approx 0,29389r}\)
d) Jednak odległość cięciwy odcinającej pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) od środka okręgu wynosi około \(\displaystyle{ 0,11244r}\) co oznacza że podział koła trzema cięciwami na 7 równych części nie jest możliwy.

10.

Ukryta treść:    

Tak. Np. czworościany w których trzy kąty ścian mające wspólny wierzchołek są proste