dowód równość odcinków

[wielkireturner]

Dany jest okrąg. Prowadzimy styczne z punktu \(\displaystyle{ S}\) do punktów \(\displaystyle{ B,D}\). Weżmy dowolny punkt \(\displaystyle{ E}\) na odcinku \(\displaystyle{ BD}\). Prowadzimy przez punkt \(\displaystyle{ E}\) prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ OE}\), gdzie \(\displaystyle{ O}\) to środek okręgu. Prosta przecina ramiona kąta w punktach \(\displaystyle{ P,Q}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ PE=QE}\).

[timon92]

wskazówka: wystarczy udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ SPOQ}\) leżą na jednym okręgu

[wielkireturner]

wskazówka: wystarczy udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ SPOQ}\) leżą na jednym okręgu

A to z czego wynika?

[timon92]

poszukaj jeszcze innych czworokątów wpisanych w okrąg

[wielkireturner]

poszukaj jeszcze innych czworokątów wpisanych w okrąg

Znalazłem czworokąty \(\displaystyle{ SDOB,PEOB,}\) i jeszcze jeden z wierzchołkami \(\displaystyle{ E,D}\). Są jeszcze jakieś?

[timon92]

ten z wierzchołkami \(\displaystyle{ E,D}\) to \(\displaystyle{ QDOE}\)? jeśli tak to tyle wystarczy

teraz poprzenoś kilka kątów

[wielkireturner]

ten z wierzchołkami \(\displaystyle{ E,D}\) to \(\displaystyle{ QDOE}\)? jeśli tak to tyle wystarczy

teraz poprzenoś kilka kątów

By udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ S,P,O,Q}\) leżą na jednym okręgu, musiałbym dojść do tego, skąd \(\displaystyle{ \angle DOP = \angle BOQ}\), a tego nie jestem w stanie uzyskać.

[timon92]

trochę mi się oznaczenia nie zgadzają z tymi z powyższego posta - w szczególności na moim rysunku \(\displaystyle{ \angle DOP \neq \angle BOQ}\)

swoją drogą teraz widzę, że rozwiązanie można trochę uprościć i nie przechodzić przez okrąg \(\displaystyle{ SPOQ}\)

mianowicie jak popatrzysz na okrąg \(\displaystyle{ BPOE}\) to okaże się, że \(\displaystyle{ \angle QPO = \angle DBO}\), a jak popatrzysz na okrąg \(\displaystyle{ DQOE}\) to ...

[wielkireturner]

trochę mi się oznaczenia nie zgadzają z tymi z powyższego posta - w szczególności na moim rysunku \(\displaystyle{ \angle DOP \neq \angle BOQ}\)

swoją drogą teraz widzę, że rozwiązanie można trochę uprościć i nie przechodzić przez okrąg \(\displaystyle{ SPOQ}\)

mianowicie jak popatrzysz na okrąg \(\displaystyle{ BPOE}\) to okaże się, że \(\displaystyle{ \angle QPO = \angle DBO}\), a jak popatrzysz na okrąg \(\displaystyle{ DQOE}\) to ...

Popełniłem chyba wcześniej literówkę. Okrąg \(\displaystyle{ BPOE}\) powinien być okręgiem \(\displaystyle{ DOEP}\)

[Pinionrzek]

Można też tak:
Prowadzimy prostą \(\displaystyle{ l}\) równoległą do \(\displaystyle{ PQ}\) przez punkt \(\displaystyle{ S}\). Niech przecina ona \(\displaystyle{ BD}\) w \(\displaystyle{ R}\). Ponieważ \(\displaystyle{ E}\) leży na biegunowej \(\displaystyle{ S}\) względem okręgu z zadania, więc \(\displaystyle{ l}\) jest biegunową \(\displaystyle{ E}\) względem tego okręgu. Mamy zatem: \(\displaystyle{ -1=(R, E; B, D)= S(R, E; P, Q)}\), skąd otrzymujemy już tezę.