Okrąg w trapezie prostokątnym

[Ziomxxd]

W trapez prostokątny wpisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu wiedząc że podstawy trapezu mają długość 2 cm i 6 cm.

[Premislav]

Skoro w ten trapez da się wpisać okrąg, to sumy przeciwległych boków trapezu są równe, tj. długości ramion trapezu sumują się do \(\displaystyle{ 8}\). Zrób rysunek. Niech ramię prostopadłe do obu podstaw będzie długości \(\displaystyle{ x}\) (to jest wysokość trapezu!), zaś drugie ramię - długości \(\displaystyle{ 8-x}\).
Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie punktem, w którym wysokość trapezu poprowadzona od krótszego boku z wierzchołka kąta rozwartego trapezu przecina dłuższą podstawę. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, którego wierzchołkami są \(\displaystyle{ U}\), wierzchołek kąta ostrego trapezu i wierzchołek kąta rozwartego trapezu, dostajesz równanie \(\displaystyle{ (8-x)^{2}=x^{2}+4^{2}}\). Wylicz z tego \(\displaystyle{ x}\), czyli wysokość i zauważ, że \(\displaystyle{ x}\) jest średnicą okręgu wpisanego. Wobec tego obwód okręgu wynosi \(\displaystyle{ \pi x}\).

[janusz47]

Wykonujemy rysunek.

Z warunku wpisania okręgu w trapez

\(\displaystyle{ c + d = a +b,}\)

\(\displaystyle{ c=h =2r, \ \ a=2 cm,\ \ b= 6cm}\)

\(\displaystyle{ d = 8 - 2r,}\)

Ze wzoru Pitagorasa

\(\displaystyle{ (8-2r)^2 = (2r)^2 +4^2.}\)

obliczamy długość promienia okręgu \(\displaystyle{ r}\), a następnie jego obwód.