trapez prostokątny i krótsza przekątna

[mikii7]

Dany jest trapez prostokątny. Jego krótsza przekątna ma długość 10 cm i jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole i obwód trapezu, wiedząc, że ramiona mają długości 12 cm i 20 cm. Uzasadnij, że trójkąty, na które przekątna podzieliła trapez są podobne.

Nie wiem jak powninien wyglądać rysunek i nie wiem które ramię 12 czy 20 będzie stanowiło wysokość... Czy ktoś wie jak to rozwiązać?

[Kartezjusz]

Pochylenie ramienia wydłuży je.

[bakala12]

Oczywiście wysokością musi być \(\displaystyle{ 12}\). Zauważ, że podstawy trapezu są równoległe, zatem oba ramiona trapezu to odcinki których końce leżą na różnych prostych równoległych. Wobec tego spośród wszystkich takich odcinków wiadomo, że najkrótszy jest ten, który jest prostopadły do obu prostych równoległych (łatwo to udowodnić). No ale takim odcinkiem jest właśnie to ramię w trapezie prostokątnym które jest jego wysokością. Stąd w trapezie prostokątnym wysokość jest nigdy nie jest dłuższa niż ramię (ta obserwacja jest słuszna również dla każdego trapezu).

[loitzl9006]

Dany jest trapez prostokątny. Jego krótsza przekątna ma długość 10 cm:

rys1.png (2.69 KiB) Przejrzano 8336 razy

i jest prostopadła do ramienia

rys2.png (3.06 KiB) Przejrzano 8341 razy

ramiona mają długości 12 cm i 20 cm

rys3.png (3.69 KiB) Przejrzano 8329 razy

i wg mnie zadanie nie ma rozwiązania, bo trójkąt \(\displaystyle{ ABD}\) jest prostokątny a jego przyprostokątna \(\displaystyle{ AB}\) jest dłuższa od przeciwprostokątnej

Skąd masz to zadanie ?

[SlotaWoj]

Możliwy błąd przy przepisywaniu tematu. Wygląda, że powinno być: \(\displaystyle{ |BD|=20}\) .

[mikii7]

Przepraszam wkradł się błąd \(\displaystyle{ |BD|=15}\)
Z Pitagorasa obliczę \(\displaystyle{ |BC|=25,|AD|=9}\)
A jak udowodnić, że te trójkąty, które przekątna podzieliła trapez są podobne? Kąt prosty wspólny i co dalej? i skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ h=12}\), a nie \(\displaystyle{ 20cm}\)? Czy można przyjąć, że \(\displaystyle{ |AB|=20 cm}\)?

[kropka+]

Kąt prosty wspólny i co dalej? i skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ h=12}\), a nie \(\displaystyle{ 20cm}\)? Czy można przyjąć, że \(\displaystyle{ |AB|=20 cm}\)?

Poszukaj kątów naprzemianległych.
W trójkącie prostokątnym najdłuższa jest przeciwprostokątna.
Nie można z powodu j.w.

[mikii7]

Przeczytałam

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/K%C4%85ty

... leg%C5%82e , ale dalej mam z tym problem... nie widzę tu tych kątów. Czy ktoś może mi napisać, dlaczego te trójkąty są podobne?

[loitzl9006]

Narysuj trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ DBC}\) w "jednakowej orientacji" jeden obok drugiego - np.
krótsze przyprostokątne - pionowo
dłuższe przyprostokątne - poziomo
przeciwprostokątne - ukośnie

a potem dziel długości odpowiadających boków obu trójkątów - powinnaś dostawać za każdym razem ten sam wynik - jeśli tak się stanie to trójkąty są podobne

[kropka+]

Masz dwie proste równoległe (dwie podstawy) przecięte trzecią prostą (przekątną) więc kąty naprzemianległe są sobie równe. Czyli \(\displaystyle{ \angle ADB=\angle BDC}\)

[kruszewski]

Zauważ proszę , że z treści zadania wynika:
1. "jest trapez prostokątny", co oznacza, że jedno z jego ramion jest prostopadłe do jego podstawy.
Zaś z definicji trapezu wiemy, że "ma on dwie równoległe do siebie podstawy" . Stąd wyprowadzamy wniosek, że to prostopadłe ramię jest prostopadłe do obu podstaw tego trapezu, ba, jest też jego wysokością.
I dalej, że:
2."Jego krótsza przekątna ma długość 15 cm i jest prostopadła do ramienia".

Zauważamy, że tym ramieniem może być tylko to ukośne ramię.
Zauważamy też, że przekątna ta przynależy do prostej przecinającej podstawy trapezu. I tu przypominamy sobie twierdzenie o równości kątów naprzemianległymi przy przecinaniu prostych równoległych inną prostą. Zauważamy dalej, że są to kąty ostre zawarte między prostymi do których przynależą obie podstawy. Dalsze skupienie uwagi na tym rysunku pozwala zauważyć że trzecie kąty w tych trójkątach prostokątnych które mają wspólny bok, tę krótszą przekątną, muszą być sobie równe. A to z tego powodu, że są prostokątne, że maja "drugie" kąty równe (co stwierdziliśmy posługując się tw. o kątach naprzemianległych), zatem trzecie kąty dopełniające do \(\displaystyle{ 18 0^o}\) muszą być w obu tych trójkątach jednakowe, zatem sobie równe.

Podobieństwo tych dwu trójkątów wynika z twierdzenia, które głosi, że w trójkątach podobnych, po za proporcjonalnością miar odpowiednich boków zachodzi równość odpowiednich kątów, a w przypadku tych dwu trójkątów równość ta zachodzi. Nie potrzebne jest więc przyrównywanie do siebie miar odpowiednich boków w tych dwu trójkątach.
W.Kr.
List wyżej pisze o tym twierdzeniu Pani Kropka+

[mikii7]

Kąty BAD i BDC są proste. A jak z pozostałymi kątami?Jak udowodnić, że są równe? Skoro są podobne to stosunek boków musi być taki sam, a nie jest... \(\displaystyle{ \frac{15}{12}=\frac{20}{9}=\frac{25}{15}}\) dlaczego? co ja robię źle?

[kropka+]

Do proporcji masz brać odpowiadające sobie boki obu trójkątów, czyli pary boków leżących pomiędzy takimi samymi kątami. Czyli
\(\displaystyle{ \frac{15}{25} = \frac{9}{15} = \frac{12}{20}= skala \ podobienstwa}\)

[loitzl9006]

pisałem - rysuj w "jednakowej orientacji"

[kruszewski]

Powód dla czego te kąty są równe