inwersja elipsy pytanie
-
wielkireturner
- Użytkownik
- Posty: 403
- Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: London ChinaTown
- Podziękował: 151 razy
- Pomógł: 4 razy
inwersja elipsy pytanie
Czy inwersja jest określona dla elips? Jeśli tak, to czy obrazem elipsy przechodzącej przez środek inwersji jest prosta?
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
inwersja elipsy pytanie
Nigdy nie słyszałem o czymś takim jak inwersja względem elipsy. Ale chyba można coś takiego zdefiniować korzystając z analogii do inwersji względem okręgu. Wobec tego bierzmy się do roboty.
Rozważmy elipsę \(\displaystyle{ e}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) oraz o półosiach wielkiej i małej o długościach odpowiednio \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Obierzmy dowolnie na płaszczyźnie punkt \(\displaystyle{ P}\).
Rozważmy najpierw przypadek \(\displaystyle{ P \neq O}\). Wówczas oznaczmy dodatkowo przez \(\displaystyle{ M}\) punkt przecięcia półprostej \(\displaystyle{ OP}\) z brzegiem elipsy \(\displaystyle{ e}\).
Powiemy, że punkt \(\displaystyle{ P'}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) przez inwersję względem elipsy \(\displaystyle{ e}\) wtedy i tylko wtedy gdy punkty \(\displaystyle{ P, M, P'}\) są współliniowe, przy czym punkt \(\displaystyle{ M}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ PP'}\) oraz zachodzi równość:
\(\displaystyle{ OP \cdot OP' = OM^{2}}\).
Dodatkowo, aby to przekształcenie było określone poprawnie dla całej płaszczyzny przyjmijmy, że obrazem punktu \(\displaystyle{ O}\) w inwersji względem elipsy \(\displaystyle{ e}\) jest punkt w nieskończoności \(\displaystyle{ \infty}\), zaś obrazem punktu w nieskończoności jest punkt \(\displaystyle{ O}\).
Nietrudno teraz pokazać następujące proste fakty odnośnie opisanego przekształcenia:
1. Przekształcenie to jest inwolucją.
2. Punkty na brzegu elipsy przechodzą w tym przekształceniu na siebie.
Nie dowodziłem formalnie innych właściwości, ale intuicyjnie wydają się być prawdziwe analogiczne dla zwyczajnej inwersji fakty, na przykład:
Obrazem prostej stycznej do elipsy \(\displaystyle{ e}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\) jest elipsa przechodząca prze punkty \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ O}\).
Posługując się więc analogią, "na oko" rzeczywiście wygląda na to, że obrazem elipsy przechodzącej przez środek elipsy \(\displaystyle{ e}\) jest prosta.
Ale tutaj potrzeba formalnego dowodu, na który niestety nie mam teraz zbyt wiele czasu.
Mam nadzieję, że nie napisałem jakichś herezji matematycznych, nigdy o tym o czym pisałem nigdzie nie słyszałem ani nie czytałem, wszystko co tutaj napisałem jest wynikiem mojego własnego zastanowienia
Rozważmy elipsę \(\displaystyle{ e}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) oraz o półosiach wielkiej i małej o długościach odpowiednio \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Obierzmy dowolnie na płaszczyźnie punkt \(\displaystyle{ P}\).
Rozważmy najpierw przypadek \(\displaystyle{ P \neq O}\). Wówczas oznaczmy dodatkowo przez \(\displaystyle{ M}\) punkt przecięcia półprostej \(\displaystyle{ OP}\) z brzegiem elipsy \(\displaystyle{ e}\).
Powiemy, że punkt \(\displaystyle{ P'}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) przez inwersję względem elipsy \(\displaystyle{ e}\) wtedy i tylko wtedy gdy punkty \(\displaystyle{ P, M, P'}\) są współliniowe, przy czym punkt \(\displaystyle{ M}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ PP'}\) oraz zachodzi równość:
\(\displaystyle{ OP \cdot OP' = OM^{2}}\).
Dodatkowo, aby to przekształcenie było określone poprawnie dla całej płaszczyzny przyjmijmy, że obrazem punktu \(\displaystyle{ O}\) w inwersji względem elipsy \(\displaystyle{ e}\) jest punkt w nieskończoności \(\displaystyle{ \infty}\), zaś obrazem punktu w nieskończoności jest punkt \(\displaystyle{ O}\).
Nietrudno teraz pokazać następujące proste fakty odnośnie opisanego przekształcenia:
1. Przekształcenie to jest inwolucją.
2. Punkty na brzegu elipsy przechodzą w tym przekształceniu na siebie.
Nie dowodziłem formalnie innych właściwości, ale intuicyjnie wydają się być prawdziwe analogiczne dla zwyczajnej inwersji fakty, na przykład:
Obrazem prostej stycznej do elipsy \(\displaystyle{ e}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\) jest elipsa przechodząca prze punkty \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ O}\).
Posługując się więc analogią, "na oko" rzeczywiście wygląda na to, że obrazem elipsy przechodzącej przez środek elipsy \(\displaystyle{ e}\) jest prosta.
Ale tutaj potrzeba formalnego dowodu, na który niestety nie mam teraz zbyt wiele czasu.
Mam nadzieję, że nie napisałem jakichś herezji matematycznych, nigdy o tym o czym pisałem nigdzie nie słyszałem ani nie czytałem, wszystko co tutaj napisałem jest wynikiem mojego własnego zastanowienia