p-kąt płaszczyzna zespolona kąty

[wielkireturner]

Niech dany będzie p-kąt, gdzie \(\displaystyle{ p}\) to liczba pierwsza. Wszystkie kąty w p-kącie są równe, a wszystkie boki są wymiernej długości.
a) Skąd wiadomo, że każdy kąt ma miarę \(\displaystyle{ \pi - \frac{2 \pi }{p}}\)?
b) Umieścmy ten sam p-kąt na płaszczyźnie zespolonej w taki sposób, że jego wierzchołkami są liczby zespolone \(\displaystyle{ z_{0},z_{1},z_{2},...,z_{p-1}}\) Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ z_{0} = 0, z_{1}=1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ z_{i+1}-z_{i}=q_{i} e^{ \frac{ 2 \pi i}{p}}(z_{i}-z_{i-1})}\) dla \(\displaystyle{ i = 1,2,...,p-1}\), \(\displaystyle{ q_{i}}\) to liczba wymierna równa stosunkowi odpowiednich boków p-kąta oraz przyjmujemy, że \(\displaystyle{ z_{0}=z_{p}=0}\).
Jak zwykle, możliwy nadmiar informacji.

[Peter Zof]

Co do (a) to skoro kątów jest \(\displaystyle{ p}\), a miara wszystkich kątów wynosi \(\displaystyle{ 2 \pi}\) to logicznym jest, że przy założeniu że każdy jest sobie równy otrzymamy miarę kąta jako \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{p}}\).

[wielkireturner]

Co do (a) to skoro kątów jest \(\displaystyle{ p}\), a miara wszystkich kątów wynosi \(\displaystyle{ 2 \pi}\) to logicznym jest, że przy założeniu że każdy jest sobie równy otrzymamy miarę kąta jako \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{p}}\).

ALe wzór dla wielokąta wypukłego na sumę wszystkich kątów to \(\displaystyle{ (n-2) \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba wierzchołków, więc to niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Ach, muszę wprowadzić poprawkę do a). Chodziło o kąt \(\displaystyle{ \pi - \frac{ 2 \pi }{p}}\), a dla niego z tego wzoru to wynika.

[Peter Zof]

Przepraszam, dziś chyba jestem zbyt zamyślony i pomyliłem \(\displaystyle{ p}\)-kąt z kołem

[Kartezjusz]

Nie wiem, gdzie wkracza pierwszość \(\displaystyle{ p}\), ale zauważmy , że \(\displaystyle{ z_{i}-z_{i-1}}\)to wektor łączący dwa kolejne boki wielokąta. To, że wszystkie kąty środkowe są równe sprawia, że wystarczy obrócić o kąt \(\displaystyle{ \frac{2 \pi }{p}}\) i przeskalować jednokładnością o skali \(\displaystyle{ q_{i}}\)

[bakala12]

To, że wszystkie kąty środkowe są równe sprawia, że wystarczy obrócić o kąt \(\displaystyle{ \frac{2 \pi }{p}}\) i przeskalować jednokładnością o skali \(\displaystyle{ q_{i}}\)

Jakie kąty środkowe? Kto powiedział, że ten \(\displaystyle{ p}\)-kąt da się wpisać w okrąg?

-- 27 wrz 2015, o 17:12 --

Co do rozwiązania to punkt pierwszy jest bardzo prosty, wystarczy wysumować wszystkie kąty w \(\displaystyle{ p}\)-kącie i podzielić przez \(\displaystyle{ p}\) co daje że każdy kąt wewnętrzny \(\displaystyle{ p}\)-kąta ma miarę \(\displaystyle{ \frac{\left(p-2\right)\pi}{p}}\).

Co do punktu drugiego to Twoja własność jest niespełniona, a przynajmniej nie zawsze. Otóż zależność przez Ciebie napisana zachodzi tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ z_{2}}\) leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wtedy zapewnione jest że wierzchołek \(\displaystyle{ z_{i-1}}\) przechodzi na \(\displaystyle{ z_{i+1}}\) w pewnym podobieństwie spiralnym o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_{i}}\). I kluczowy fakt jest taki, żeby obrót w tym podobieństwie był w dobrą stronę (antyzegarowo oczywiście), wtedy twoja zależność jest spełniona. Gdy zaś \(\displaystyle{ z_{2}}\) jest w czwartej ćwiartce układu współrzędnych (a nikt nie powiedział, że tak nie może być) to wyżej wymieniony obrót jest w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, zatem tak naprawdę kąt o który obracamy to \(\displaystyle{ - \frac{\left(p-2\right)\pi}{p}}\) i ten minus powinien się pojawić we wzorze.

A i pierwszość liczby \(\displaystyle{ p}\) jest zupełnie niepotrzebnym do niczego założeniem.