Podstawy trapezu

[Dario1]

Podstawy trapezu mają długości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) większe od \(\displaystyle{ b}\). Suma miar kątów wewnętrznych przy dłużej podstawie wynosi \(\displaystyle{ 90}\) stopni. Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw.

[piasek101]

Przedłużyć ramiona do ich przecięcia.
Szukać trójkątów prostokątnych.

[Ania221]

Po przedłużeniu ramion do przecięcia, otrzymujemy trójkąt prostokątny.
Odcinek łączący wierzchołek kąta prostego ze środkiem dłuższej podstawy \(\displaystyle{ a}\) jest równy promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie czyli \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\)
Szukany odcinek \(\displaystyle{ x}\)
No i z proporcji

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a}{2}-x }{b} = \frac{ \frac{a}{2} }{a}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{a-b}{2}}\)

[piasek101]

Po co ta proporcja.

Odcinki łączące środki przeciwprostokątnych z wierzchołkiem kąta prostego to \(\displaystyle{ 0,5a}\) oraz \(\displaystyle{ 0,5b}\).

Zatem od razu \(\displaystyle{ x=0,5a-0,5b}\)

[Dario1]

No ok, ale skąd pewność, że wierzchołek kąta prostego i środki przeciwprostokątnych leżą na jednej prostej?

[Ania221]

Z podobieństwa trójkątów?
Dlatego byla proporcja, żeby zwrócić uwagę na podobieństwo.

Teraz lepiej widać

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a}{2}-x }{ \frac{b}{2} } = \frac{ \frac{a}{2} }{ \frac{a}{2} }}\)

[piasek101]

To, że z podobieństwa - tak. I współliniowość nie wymagała proporcji, a tylko odejmowania.