W trapez równoramienny
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
W trapez równoramienny
W trapez równoramienny o obwodzie \(\displaystyle{ 20}\) i przekątnej długości \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) można wpisać okrąg. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki.
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
W trapez równoramienny
A możesz coś więcej rozpisać? Bo tak to nie bardzo wiadomo o co chodzi. Warunek na czworokąt opisany na okręgu to że suma naprzemianległych boków trapezu jest równa? A o który trójkąt prostokątny chodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
W trapez równoramienny
\(\displaystyle{ a;b;c}\) - podstawy (b>a); ramię.
\(\displaystyle{ a+b=c+c}\) warunek o którym pisałem; do tego masz obwód.
Szukasz trójkątów o jakich pisałem - próbuj.
Potem pytaj.
\(\displaystyle{ a+b=c+c}\) warunek o którym pisałem; do tego masz obwód.
Szukasz trójkątów o jakich pisałem - próbuj.
Potem pytaj.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
W trapez równoramienny
Wykonaj staranny rysunek.
1)
Z obwodu trapezu \(\displaystyle{ a+b+2c =20}\) i warunku wpisania okręgu (koła) w czworokąt \(\displaystyle{ a+b=2c}\) znajdujemy długość ramienia trapezu \(\displaystyle{ c = 5.}\)
2)
Z jednego z trójkątów prostokątnych o długości przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) i długości przyprostokątnej \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} = \frac{2c}{2}=c =5}\) obliczamy długość \(\displaystyle{ H}\) wysokości trapezu \(\displaystyle{ H = 4.}\)
3)
Ze wzoru klasycznego obliczamy pole trapezu \(\displaystyle{ |P|= \frac{1}{2}(a+b)H = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20.}\)
4)
Z drugiej strony pole trapezu obliczamy jako sumę pól dwóch trójkątów:
-pierwszego o bokach długości
\(\displaystyle{ b=2, c = 5, d= \sqrt{41}}\) i wysokości \(\displaystyle{ h=?}\)- szukanej odległości punktu przecięcia się przekątnych trapezu od prostej zawierającej jego boki,
-drugiego o boku długości \(\displaystyle{ a= 8}\) i wysokości \(\displaystyle{ H=4.}\)
5)
Z porównania pól trapezu otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{41}\cdot h +\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4 = 20,}\)
z którego
\(\displaystyle{ h= \frac{8}{\sqrt{41}}=\frac{8\sqrt{41}}{41}.}\)
1)
Z obwodu trapezu \(\displaystyle{ a+b+2c =20}\) i warunku wpisania okręgu (koła) w czworokąt \(\displaystyle{ a+b=2c}\) znajdujemy długość ramienia trapezu \(\displaystyle{ c = 5.}\)
2)
Z jednego z trójkątów prostokątnych o długości przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) i długości przyprostokątnej \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} = \frac{2c}{2}=c =5}\) obliczamy długość \(\displaystyle{ H}\) wysokości trapezu \(\displaystyle{ H = 4.}\)
3)
Ze wzoru klasycznego obliczamy pole trapezu \(\displaystyle{ |P|= \frac{1}{2}(a+b)H = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20.}\)
4)
Z drugiej strony pole trapezu obliczamy jako sumę pól dwóch trójkątów:
-pierwszego o bokach długości
\(\displaystyle{ b=2, c = 5, d= \sqrt{41}}\) i wysokości \(\displaystyle{ h=?}\)- szukanej odległości punktu przecięcia się przekątnych trapezu od prostej zawierającej jego boki,
-drugiego o boku długości \(\displaystyle{ a= 8}\) i wysokości \(\displaystyle{ H=4.}\)
5)
Z porównania pól trapezu otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{41}\cdot h +\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4 = 20,}\)
z którego
\(\displaystyle{ h= \frac{8}{\sqrt{41}}=\frac{8\sqrt{41}}{41}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
W trapez równoramienny
Rysunek:
\(\displaystyle{ h_{1}+h_{2} = 4.}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} h_{1}\cdot 8 + \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot h_{2}+ 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{8\sqrt{41}}{41}\cdot 5 = 20.}\)
Z tych równań oblicz \(\displaystyle{ h_{1},\ \ h_{2}.}\)
\(\displaystyle{ h_{1}+h_{2} = 4.}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} h_{1}\cdot 8 + \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot h_{2}+ 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{8\sqrt{41}}{41}\cdot 5 = 20.}\)
Z tych równań oblicz \(\displaystyle{ h_{1},\ \ h_{2}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
W trapez równoramienny
No ok, ale z tych równań odpowiedzi wychodzą z pierwiastkami podczas gdy, odpowiedzi z książki to:
Od podstaw: \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ \frac{16}{5}}\), od ramion: \(\displaystyle{ \frac{32}{25}}\). Zatem prawdopodobnie jest błąd.
Od podstaw: \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ \frac{16}{5}}\), od ramion: \(\displaystyle{ \frac{32}{25}}\). Zatem prawdopodobnie jest błąd.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
W trapez równoramienny
Odpowiedzi z książki są poprawne.Dario1 pisze:No ok, ale z tych równań odpowiedzi wychodzą z pierwiastkami podczas gdy, odpowiedzi z książki to:
Od podstaw: \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ \frac{16}{5}}\), od ramion: \(\displaystyle{ \frac{32}{25}}\). Zatem prawdopodobnie jest błąd.
Błąd (błędy) są w rozwiązaniu podanym tutaj.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
W trapez równoramienny
Tu jest błąd.janusz47 pisze:-pierwszego o bokach długości
\(\displaystyle{ b=2,\ c=5,\ d=\sqrt{41}}\) i wysokości \(\displaystyle{ h=\ ?}\) – szukanej odległości punktu przecięcia się przekątnych trapezu od prostej zawierającej jego boki,
Bo niby dlaczego ma być \(\displaystyle{ b=2\ ?}\)
Edit:
––––––
Rzeczywiście, \(\displaystyle{ a=8}\) i \(\displaystyle{ b=2}\), ale wysokość poprowadzona do przekątnej \(\displaystyle{ d=\sqrt{41}}\) nie przechodzi przez punkt przecięcia się przekątnych. Przekątne nie są prostopadłe. Kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) między nimi jest taki, że \(\displaystyle{ \sin\varphi=40/41}\).
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2015, o 03:52 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
W trapez równoramienny
Poprawiłem obliczenia i wyszedł mi poprawny wynik. Niech \(\displaystyle{ P _{i}}\) oznacza pole trójkąta w którym zawiera się \(\displaystyle{ i-ta}\) wysokość. I tak \(\displaystyle{ P _{2}+P _{4}= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4+ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=16}\). Zatem skoro \(\displaystyle{ P=20}\) to \(\displaystyle{ P _{1}+P _{3}=4}\), ale \(\displaystyle{ P _{3}=P _{4}}\), zatem odejmując stronami otrzymamy \(\displaystyle{ P _{2}-P _{1}=12}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h _{2}- \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h _{1}=12}\). Z tego , że \(\displaystyle{ h _{1}+h _{2}=4}\) dostajemy \(\displaystyle{ h _{1}= \frac{4}{5}, h _{2}= \frac{16}{5}}\). Teraz z równania \(\displaystyle{ P _{4}=4-P _{1}}\) dostajemy \(\displaystyle{ P _{3}=P _{4}= \frac{16}{5}}\) i z tego, że \(\displaystyle{ P _{3}= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h _{3}}\) dostajemy \(\displaystyle{ h _{3} = \frac{32}{25}}\).