W trapez równoramienny

[Dario1]

W trapez równoramienny o obwodzie \(\displaystyle{ 20}\) i przekątnej długości \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) można wpisać okrąg. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki.

[piasek101]

Warunek na czworokąt opisany na okręgu i wyszukanie trójkąta prostokątnego o danych dwóch bokach.

[Dario1]

A możesz coś więcej rozpisać? Bo tak to nie bardzo wiadomo o co chodzi. Warunek na czworokąt opisany na okręgu to że suma naprzemianległych boków trapezu jest równa? A o który trójkąt prostokątny chodzi.

[piasek101]

\(\displaystyle{ a;b;c}\) - podstawy (b>a); ramię.

\(\displaystyle{ a+b=c+c}\) warunek o którym pisałem; do tego masz obwód.

Szukasz trójkątów o jakich pisałem - próbuj.

Potem pytaj.

[janusz47]

Wykonaj staranny rysunek.

1)
Z obwodu trapezu \(\displaystyle{ a+b+2c =20}\) i warunku wpisania okręgu (koła) w czworokąt \(\displaystyle{ a+b=2c}\) znajdujemy długość ramienia trapezu \(\displaystyle{ c = 5.}\)

2)
Z jednego z trójkątów prostokątnych o długości przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) i długości przyprostokątnej \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} = \frac{2c}{2}=c =5}\) obliczamy długość \(\displaystyle{ H}\) wysokości trapezu \(\displaystyle{ H = 4.}\)

3)
Ze wzoru klasycznego obliczamy pole trapezu \(\displaystyle{ |P|= \frac{1}{2}(a+b)H = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20.}\)

4)
Z drugiej strony pole trapezu obliczamy jako sumę pól dwóch trójkątów:

-pierwszego o bokach długości
\(\displaystyle{ b=2, c = 5, d= \sqrt{41}}\) i wysokości \(\displaystyle{ h=?}\)- szukanej odległości punktu przecięcia się przekątnych trapezu od prostej zawierającej jego boki,

-drugiego o boku długości \(\displaystyle{ a= 8}\) i wysokości \(\displaystyle{ H=4.}\)

5)
Z porównania pól trapezu otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{41}\cdot h +\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4 = 20,}\)

z którego

\(\displaystyle{ h= \frac{8}{\sqrt{41}}=\frac{8\sqrt{41}}{41}.}\)

[piasek101]

I mózg usera ,,popracował ".

[Dario1]

No tak, ale tu trzeba znaleść cztery odległości. Mianowicie odległości od każdego z boków(ramiona i podstawy).

[janusz47]

Rysunek:

\(\displaystyle{ h_{1}+h_{2} = 4.}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} h_{1}\cdot 8 + \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot h_{2}+ 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{8\sqrt{41}}{41}\cdot 5 = 20.}\)

Z tych równań oblicz \(\displaystyle{ h_{1},\ \ h_{2}.}\)

[Dario1]

No ok, ale z tych równań odpowiedzi wychodzą z pierwiastkami podczas gdy, odpowiedzi z książki to:
Od podstaw: \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ \frac{16}{5}}\), od ramion: \(\displaystyle{ \frac{32}{25}}\). Zatem prawdopodobnie jest błąd.

[a4karo]

No to pokaż swoje obliczenia. Bez tego nie dostaniesz żadnej pomocy

[piasek101]

No ok, ale z tych równań odpowiedzi wychodzą z pierwiastkami podczas gdy, odpowiedzi z książki to:
Od podstaw: \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ \frac{16}{5}}\), od ramion: \(\displaystyle{ \frac{32}{25}}\). Zatem prawdopodobnie jest błąd.

Odpowiedzi z książki są poprawne.

Błąd (błędy) są w rozwiązaniu podanym tutaj.

[SlotaWoj]

-pierwszego o bokach długości
\(\displaystyle{ b=2,\ c=5,\ d=\sqrt{41}}\) i wysokości \(\displaystyle{ h=\ ?}\) – szukanej odległości punktu przecięcia się przekątnych trapezu od prostej zawierającej jego boki,

Tu jest błąd.
Bo niby dlaczego ma być \(\displaystyle{ b=2\ ?}\)

Edit:
––––––
Rzeczywiście, \(\displaystyle{ a=8}\) i \(\displaystyle{ b=2}\), ale wysokość poprowadzona do przekątnej \(\displaystyle{ d=\sqrt{41}}\) nie przechodzi przez punkt przecięcia się przekątnych. Przekątne nie są prostopadłe. Kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) między nimi jest taki, że \(\displaystyle{ \sin\varphi=40/41}\).

[Dario1]

Poprawiłem obliczenia i wyszedł mi poprawny wynik. Niech \(\displaystyle{ P _{i}}\) oznacza pole trójkąta w którym zawiera się \(\displaystyle{ i-ta}\) wysokość. I tak \(\displaystyle{ P _{2}+P _{4}= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4+ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=16}\). Zatem skoro \(\displaystyle{ P=20}\) to \(\displaystyle{ P _{1}+P _{3}=4}\), ale \(\displaystyle{ P _{3}=P _{4}}\), zatem odejmując stronami otrzymamy \(\displaystyle{ P _{2}-P _{1}=12}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h _{2}- \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h _{1}=12}\). Z tego , że \(\displaystyle{ h _{1}+h _{2}=4}\) dostajemy \(\displaystyle{ h _{1}= \frac{4}{5}, h _{2}= \frac{16}{5}}\). Teraz z równania \(\displaystyle{ P _{4}=4-P _{1}}\) dostajemy \(\displaystyle{ P _{3}=P _{4}= \frac{16}{5}}\) i z tego, że \(\displaystyle{ P _{3}= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h _{3}}\) dostajemy \(\displaystyle{ h _{3} = \frac{32}{25}}\).