Środki boków czworokąta

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 wrz 2015, o 13:35

Wykaż, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Weźmy dowolny czworokąt ABCD i narysujmy w nim figurę wyznaczoną przez środki boków czworokąta ABCD. Jeśli dorysujemy przekątne czworokąta to się okaże, że jeden z boków badanej figury będzie odcinkiem łączącym środki boków trójkąta ABD, a wiemy, że odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do podstawy tutaj BD (ta własność wynika z podobieństwa trójkątów ABD i trójkąta wyznaczonego przez środki boków trójkąta ABD i wierzchołek A. Podobnie naprzemianległy bok szukanej figury z analogicznych względów jest równoległy bo przekątnej BD, a zatem te boki figury są do siebie równoległe. Jeśli weźmiemy pod włos pozostałe dwa boki figury to okaże się, że są one równoległe do przekątnej AC i w konsekwencji do siebie. Zatem figura ma dwie pary boków równoległych zatem jest równoległobokiem.

Jeśli można było to zadanie zrobić szybciej lub prościej proszę o komentarz.

Pinionrzek · Post autor: **Pinionrzek** » 12 wrz 2015, o 15:22

Jest ok.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 wrz 2015, o 20:34

Czepiam się, ale :
- ,,pod włos" ?

- niektórzy przyjmują, że czworokąt wklęsły ma jedną przekątną.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 12 wrz 2015, o 21:38

niektórzy przyjmują, że czworokąt wklęsły ma jedną przekątną.

Kto??? Ci którzy tak robią, przyjmują błędnie. Każdy czworokąt ma dwie przekątne, niezależnie od tego czy jest wypukły czy nie. Wynika to wprost z definicji przekątnej, jako odcinka łączącego dwa niesąsiednie wierzchołki. Nie jest powiedziane, że ta przekątna leży wewnątrz wielokąta.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 wrz 2015, o 21:49

Są dwie definicje przekątnej.

Miał to być (wg jednej z nich, w dobie internetu trochę wypieranej, ale w książkach dostępnej) odcinek całkowicie zawarty w wielokącie.

Zauważ w ilu zadaniach występuje ,,wypukłego" - aby uniknąć nieporozumień.

Seth Briars · Post autor: **Seth Briars** » 12 wrz 2015, o 22:11

Na przykład w jakiej książce (tytuł, autor) figuruje definicja przekątnej jako (odpowiedniego) odcinka "całkowicie zawartego w wielokącie"?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 wrz 2015, o 22:19

Sam się takiej definicji uczyłem w szkole (i doskonale to pamiętam) - z książek.

Teraz szukając w necie trafiłem tylko (a szkoda), że taka obowiązuje we Włoszech, Hiszpanii.

[edit] Może znajdzie się jeszcze ktoś kto się tak uczył jak ja ?

Dla jasności - wolę tę definicję, która dopuszcza istnienie przekątnych (całych lub kawałków) na zewnątrz wielokąta.