Punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są kolejnymi wierzchołkami równolegloboku o obwodzie równym \(\displaystyle{ 26}\). Wiedząc, że kąt \(\displaystyle{ ABC=120}\) stopni i promień okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Jeden z boków oznaczmy jako \(\displaystyle{ x}\). Drugi z równania obwodu będzie równy \(\displaystyle{ 13-x}\). Kąt ostry między nimi to \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Pole równoległoboku jest równe \(\displaystyle{ x\left( 13-x\right)\sin 60}\). Z drugiej strony z twierdzenia cosinusów dostajemy, że przekątna będąca trzecim bokiem trójkąta jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{3x ^{2}-39x+169 }}\). Ze wzoru na pole z promieniem okręgu wpisanego mamy \(\displaystyle{ P=\left( 13+ \sqrt{3x ^{2}-39x+169} \right) \sqrt{3}}\). Z przyrównania tych dwóch pól i przekształcenia otrzymujemy równanie trzeciego stopnia, którego jednym z rozwiązań jest liczba \(\displaystyle{ x=5.}\)Z tego mamy, że drugi bok \(\displaystyle{ y=8}\). Ze wzoru na pole dostajemy, że \(\displaystyle{ P=20 \sqrt{3}}\).
Jeśli można było to zadanie zrobić szybciej lub prościej proszę o komentarz, bowiem równanie trzeciego stopnia narobiło trochę trudności.
Punkty A,B,C,D
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Punkty A,B,C,D
Błąd we wzorze. Ma być połowa obwodu.Dario1 pisze:\(\displaystyle{ P=\left(13+\sqrt{3x^2-39x+169}\right)\sqrt{3}}\)
Edit:
––––––
Bakala12 (patrz post poniżej) stwierdził, że błędu nie ma.
Rzeczywiście, przeoczyłem, że \(\displaystyle{ P}\) nie jest polem trójkąta.
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2015, o 08:39 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Punkty A,B,C,D
Czwartego stopnia. Oprócz podanego przez Ciebie rozwiązania, jest jeszcze para \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=13}\), którą trzeba wyeliminować (nie można wykreślić kąta).Dario1 pisze:Z przyrównania tych dwóch pól i przekształcenia otrzymujemy równanie trzeciego stopnia, ...
Wydaje mi się, że Twój sposób rozwiązania jest najprostszy.