Punkty A,B,C,D

[Dario1]

Punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są kolejnymi wierzchołkami równolegloboku o obwodzie równym \(\displaystyle{ 26}\). Wiedząc, że kąt \(\displaystyle{ ABC=120}\) stopni i promień okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Jeden z boków oznaczmy jako \(\displaystyle{ x}\). Drugi z równania obwodu będzie równy \(\displaystyle{ 13-x}\). Kąt ostry między nimi to \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Pole równoległoboku jest równe \(\displaystyle{ x\left( 13-x\right)\sin 60}\). Z drugiej strony z twierdzenia cosinusów dostajemy, że przekątna będąca trzecim bokiem trójkąta jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{3x ^{2}-39x+169 }}\). Ze wzoru na pole z promieniem okręgu wpisanego mamy \(\displaystyle{ P=\left( 13+ \sqrt{3x ^{2}-39x+169} \right) \sqrt{3}}\). Z przyrównania tych dwóch pól i przekształcenia otrzymujemy równanie trzeciego stopnia, którego jednym z rozwiązań jest liczba \(\displaystyle{ x=5.}\)Z tego mamy, że drugi bok \(\displaystyle{ y=8}\). Ze wzoru na pole dostajemy, że \(\displaystyle{ P=20 \sqrt{3}}\).

Jeśli można było to zadanie zrobić szybciej lub prościej proszę o komentarz, bowiem równanie trzeciego stopnia narobiło trochę trudności.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ P=\left(13+\sqrt{3x^2-39x+169}\right)\sqrt{3}}\)

Błąd we wzorze. Ma być połowa obwodu.

Edit:
––––––
Bakala12 (patrz post poniżej) stwierdził, że błędu nie ma.
Rzeczywiście, przeoczyłem, że \(\displaystyle{ P}\) nie jest polem trójkąta.

[bakala12]

Sądząc z później stosowanych oznaczeń, \(\displaystyle{ P}\) oznacza pole równoległoboku, zatem błędu nie ma.

[Dario1]

Tak \(\displaystyle{ P}\) oznacza pole równoległoboku. A tak poza tym, można było to zadanie zrobić prościej lub szybciej?

[SlotaWoj]

Z przyrównania tych dwóch pól i przekształcenia otrzymujemy równanie trzeciego stopnia, ...

Czwartego stopnia. Oprócz podanego przez Ciebie rozwiązania, jest jeszcze para \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=13}\), którą trzeba wyeliminować (nie można wykreślić kąta).

Wydaje mi się, że Twój sposób rozwiązania jest najprostszy.