Oblicz długość boku rombu

[Dario1]

Oblicz długość boku rombu, wiedząc, że prosta poprowadzona przez jeden z wierzchołków rombu odcina na przedłużeniach dwóch jego boków odcinki o długościach 4 i 9.

Może ktoś pokazać rysunek do tego zadania bo nie do końca wiem jak to powinno wyglądać?

[SlotaWoj]

1. Narysuj romb \(\displaystyle{ ABCD}\) (kolejność wierzchołków np. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
2. Przedłużenie boku \(\displaystyle{ AB}\): poprowadź półprostą \(\displaystyle{ B}\) w kierunku \(\displaystyle{ A}\); półprosta ta minus bok \(\displaystyle{ AB}\), to też półprosta i to na niej trzecią prostą będzie odcinany odcinek.
3. Podobnie przedłuż bok \(\displaystyle{ BC}\) (od \(\displaystyle{ B}\) po za \(\displaystyle{ C}\), etc).
4. Przez punkt \(\displaystyle{ D}\) poprowadź dowolna prostą nierównoległą do ww. półprostych. Obróć ją względem punktu \(\displaystyle{ D}\) tak, aby na półprostych odcinała odcinki o określonych długościach (tu \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 9}\)).

Masz narysowane. Teraz główkuj.

[Dario1]

No ta teraz widzę. Dostaniemy dwa trójkąty podobne. I z twierdzenia sinusów \(\displaystyle{ \frac{9}{\sin \beta}= \frac{x}{\sin \left( \alpha-\beta\right) }}\) i \(\displaystyle{ \frac{4}{\sin \left( \alpha-\beta\right)}= \frac{x}{\sin \beta\right) }}\). Ustalając \(\displaystyle{ \frac{\sin \beta}{\sin \left( \alpha-\beta\right)}= \frac{x}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\sin \beta}{\sin \left( \alpha-\beta\right)}= \frac{9}{x}}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ x=6}\).

[SlotaWoj]

Trójkąty będą trzy, ale wystarczy rozważyć dowolne dwa.
I twierdzenie sinusów wcale nie jest potrzebne, bo z dwóch trójkątów „po za rombem” mamy:

• \(\displaystyle{ \frac{4}{a}=\frac{a}{9}}\)