W prostokącie ABCD

[Dario1]

W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym stosunek długości boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) jest równy \(\displaystyle{ 4:3}\), poprowadzono dwusieczne kątów \(\displaystyle{ ADB}\) i \(\displaystyle{ BDC}\). Dwusieczne te przecinają boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ M}\). Oblicz stosunek pola prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ DKM}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Pole prostokąta to \(\displaystyle{ 3 \cdot 4=12}\), pole trójkąta \(\displaystyle{ DKM}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}|DK||DM|\sin 45}\). Szukamy boków \(\displaystyle{ |DK|}\) i \(\displaystyle{ |DM|}\). Kąt \(\displaystyle{ ADB}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ \alpha}\), kąt \(\displaystyle{ BDC}\) przez\(\displaystyle{ \beta}\). Wówczas \(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{3}{5}}\). Z tego \(\displaystyle{ \cos \left( 1/2 \alpha \right)= \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\). \(\displaystyle{ \cos \left( 1/2 \alpha \right)= \frac{3}{|DK|}}\), z tego \(\displaystyle{ |DK|=4/5}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \cos \beta=4/5}\). Z tego \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{1}{2} \beta \right)= \frac{3 \sqrt{10} }{10}}\) i \(\displaystyle{ |DM|= \frac{4 \sqrt{10} }{3}}\). Ostatecznie pole trójkąta wynosi: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{5} }{2} \cdot \frac{4 \sqrt{10} }{3} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}=5}\). Ostatecznie stosunek pól wynosi \(\displaystyle{ 12/5}\).

Jeśli można było to zadanie zrobić szybciej lub prościej proszę o komentarz.

[macik1423]

Dobrze jest, zadanie rozwiązałem korzystając z twierdzenia o dwusiecznej
dla trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\)
\(\displaystyle{ \frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|AD|}{|DB|}}\)
stąd wyszło, że punkt \(\displaystyle{ K}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\) na odcinki o długościach \(\displaystyle{ |AK|=\frac{3}{2}x}\), \(\displaystyle{ |KB|=\frac{5}{2}x}\), podobnie zrobiłem dla trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\) tam długości odcinków wynoszą \(\displaystyle{ |MB|=\frac{5}{3}x}\), \(\displaystyle{ |CM|=\frac{4}{3}x}\).
Następnie z tw. Pitagorasa policzyłem długości odcinków \(\displaystyle{ DK, DM}\).