trapez równoramienny

[domatury]

Przekątna trapezu równoramiennego o długości \(\displaystyle{ 15}\) tworzy z jednym ramieniem kąt prosty, a z z drugim ramieniem kąt o mierze \(\displaystyle{ 30^\circ}\). Oblicz obwód i pole trapezu.

\(\displaystyle{ \angle ACB=90^\circ,\angle CBD=30^\circ}\), a \(\displaystyle{ CE}\) to wysokość trapezu.

Zapisuję warunki aby znaleźć długości boków trapezu i wysokość.

\(\displaystyle{ \begin{cases}CE^2+EB^2=225 \\ AE^2+CE^2=AC^2 \\ CE^2=AE \cdot EB \\ AC^2+225=(AE+EB)^2\end{cases}}\)

Dwa pytania:

1. Dlaczego rozwiązanie tego układu nie prowadzi do rozwiązania zadania?
2. Gdzie jest błąd?

[a4karo]

Na przykład dlatego, że nigdzie nie wykorzystałeś informacji o drugim kącie.

[domatury]

A gdzie jest powiedziane, że muszę?

[a4karo]

No nie musisz, ale jak nie wykorzystasz, to nie rozwiążesz.

[domatury]

No właśnie tego nie rozumiem dlaczego to muszę wykorzystać żeby to rozwiązać - mam 4 równania z czterema niewiadomymi i nic z tego nie wychodzi mimo że wydaje się, że są to prawidłowe zależności.

[mortan517]

Są prawidłowe, ale są zależne od siebie, to tak jakbyś miał równania:

\(\displaystyle{ x+y=12 \\ y+z=11 \\ x+2y+z=23}\)

Co z tego, że mamy trzy niewiadome i trzy równania, jak ostatnie powstało z dodania dwóch pierwszych i nic nowego nie wnosi.

[a4karo]

Te równania wcale nie są od siebie niezależne. Np. równanie 3 jest konsekwencją a równania 4 i prostokątności trójkąta.-- 1 wrz 2015, o 11:55 --To, że warunak na kąt jest konieczny widać gdy narysuje się dowolny trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ACB}\). taki, że\(\displaystyle{ CB=15}\) Łatwo można do niego dorysować trapez a jego pole będzie mocno zależeć od kąta przy \(\displaystyle{ A}\).

[domatury]

To spróbuję wykorzystać ten kąt.

Zapisuję układ warunków

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{15}{\sin(150^\circ-\angle BCD)}=\frac{BD}{\sin \angle BCD} \\ \frac{BD}{\sin \angle BCD}=\frac{\sqrt{225+BD^2-2 BD \cdot 15 \cdot \cos 30^\circ}}{\sin 30^\circ} \end{cases}}\)

Czy stąd wyliczę \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ \angle BCD}\) ? Jak mam sprawdzić czy te równania są niezależne?

[a4karo]

Nie wiem. Ale wiem, że tego typu zadania rozwiązuje sie przez przyjrzenie sie zależnosciom pomiędzy elementami, a nie przez wypisanie jakichkolwiek układów równań. Niektóre z nich moga by naprawdę trudne lub niemożliwe do rozwiązania.

[domatury]

Te równania również są zależne, nic z tego nie rozumiem. To jak zrobić to zadanie? Trójkąty \(\displaystyle{ AEC,ACB,CEB}\) są podobne, ale nie bardzo wiem jak to wykorzystać - próbowałem układać warunki, ale na nic.

[a4karo]

Po prostu pomyśl jakie elementy będą Ci potrzebne do rozwiązania tego zadania. Potem spróbuj się do nich jakoś "dobrać". Ale nie zaczynaj od wypisywania wszystkich możliwych zależności, bo po prostu zginiesz. Może wato wprowadzić jakiś kąt?

[Chewbacca97]

Myślę nawet, że kąt "przy wierzchołku A" będzie w tej chwili zbawienny (+ pamiętaj, że masz do czynienia z trapezem równoramiennym).