Suma pól

[mol_ksiazkowy]

Punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są na bokach \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz \(\displaystyle{ AK = CL}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest na boku \(\displaystyle{ CD}\), \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\) są punktami wspólnymi \(\displaystyle{ KL}\) i \(\displaystyle{ AP}\) oraz \(\displaystyle{ KL}\) i \(\displaystyle{ PB}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ P(AKQ)+ P(BLR) = P(RQP)}\).

Ukryta treść:    

P(XYZ) to pole trójkąta \(\displaystyle{ XYZ}\)

[Michalinho]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(ABLK)=\frac{1}{2}P(ABCD)}\). Dzieje się tak, ponieważ \(\displaystyle{ ABLK\equiv CDKL}\). Ponadto \(\displaystyle{ P(ABP)=\frac{1}{2}P(ABCD)}\). Stąd:
\(\displaystyle{ P(ABP)=P(ABLK)\Rightarrow P(AKQ)+P(BLR)=P(PQR)}\).