podobieństwo spiralne dowód

[wielkireturner]

Punkt \(\displaystyle{ K}\) leży wewnątrz czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\), przy czym spełnione są warunki \(\displaystyle{ \angle KAD = \angle KCB = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \angle CBK = \angle ADK = \beta}\). Na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) zbudowano, po zewnętrznej stronie czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), trójkąty \(\displaystyle{ ABP}\) i \(\displaystyle{ CDQ}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle PAB = \angle QCD = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ABP= \angle CDQ = \beta}\). Wykaż, że punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PQ}\).

[Pinionrzek]

Niech \(\displaystyle{ S_1=KP \cap AC, S_2=QP \cap AC}\). Ze znanego lematu o podobieństwie spiralnym mamy, że \(\displaystyle{ APBS_1, BCS_1K}\) oraz \(\displaystyle{ QDS_2C, AKS_2D}\) są cykliczne. Z tych cykliczności mamy: \(\displaystyle{ \angle QS_2C= \angle QDC = \beta = \angle ABP= \angle AS_1P}\), więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ PK \parallel QK}\), czyli punkty \(\displaystyle{ P, K, Q}\) są współliniowe. Ponadto \(\displaystyle{ B}\) jest środkiem podobieństwa spiralnego przekształcającego \(\displaystyle{ KP}\) na \(\displaystyle{ AC}\). Mamy z tego \(\displaystyle{ \frac{KP}{AC}= \frac{KB}{BC}}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \frac{QK}{AC}= \frac{DK}{DA}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \Delta AKD \sim \Delta KBC}\), więc \(\displaystyle{ PK=QK}\) q.e.d.

[wielkireturner]

Niech \(\displaystyle{ S_1=KP \cap AC, S_2=QP \cap AC}\). Ze znanego lematu o podobieństwie spiralnym mamy, że \(\displaystyle{ APBS_1, BCS_1K}\) oraz \(\displaystyle{ QDS_2C, AKS_2D}\) są cykliczne. Z tych cykliczności mamy: \(\displaystyle{ \angle QS_2C= \angle QDC = \beta = \angle ABP= \angle AS_1P}\), więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ PK \parallel QK}\), czyli punkty \(\displaystyle{ P, K, Q}\) są współliniowe. Ponadto \(\displaystyle{ B}\) jest środkiem podobieństwa spiralnego przekształcającego \(\displaystyle{ KP}\) na \(\displaystyle{ AC}\). Mamy z tego \(\displaystyle{ \frac{KP}{AC}= \frac{KB}{BC}}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \frac{QK}{AC}= \frac{DK}{DA}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \Delta AKD \sim \Delta KBC}\), więc \(\displaystyle{ PK=QK}\) q.e.d.

Wystarczy zamienić na początku \(\displaystyle{ QP}\) na \(\displaystyle{ QK}\) i działa w \(\displaystyle{ 100}\) procentach.