kwadratowy problem

pietras2000 · Post autor: **pietras2000** » 21 sie 2015, o 15:01

W równoległoboku ABCD, na jego bokach po zewnętrznej stronie, tworzymy kwadraty. Udowodnij, że środki tych kwadratów również tworzą kwadrat.
proszę o pomoc.

karolex123 · Post autor: **karolex123** » 21 sie 2015, o 15:17

Oznacz kąt ostry równoległoboku jako \(\displaystyle{ \alpha}\). Zauważ (uzasadnij to), że trójkąty, których dwa boki to połowy przekątnych dwóch sąsiednich kwadratów, a trzeci bok jest bokiem powstałego czworokąta są przystające.

Magda6686 · Post autor: **Magda6686** » 21 sie 2015, o 17:33

Trójkąty FBG, HCG, EDH, EAF są przystające (ten sam kąt rozwarty który należy wyliczyć oznaczając kąt ostry równoległoboku jako alfa + te same długości boków (połowa przekątnej dłużego kwadratu i połowa przekątnej małego kwadratu)).
Jeśli są przystające to także ich 3 bok jest równy więc figura o którą pytamy to conajmniej romb.
Wiemy jednak że odpowiadające kąty w trójkątak przystających są równe.
Wiemy że kąt CGB=90
Czyli CGF=90-beta
Czyli HGF=90-beta+beta=90
Takie rozumowanie można przeprowadzić dla każdego wierzchołka tego rombu czyli jest to kwadrat co naleźało wykazać.

Pamiętaj że:
-jeśli kąt ostry równoległoboku to alfa to kąt rozwarty to 180-alfa.
-kąt pełny to 360
-kąt pomiędzy bokami kwadratu to 90
-przekątne(które wyznaczają środek kwadratu) dzielą ten kąt pełny na 2 części po 45.