Trójkąt równoboczny

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 19 sie 2015, o 18:11

Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt D, że |CD|:|DB|=2:1. Oblicz tangens kąta CAD i znajdź stosunek promieni okręgów opisanych na trójkątach ACD i ABD.

Pierwszą część zadania zrobiłem, mianowicie policzyłem tangens tego kąta, ale nie wiem jak znaleźć stosunek promieni okręgów.

mint18 · Post autor: **mint18** » 19 sie 2015, o 18:27

\(\displaystyle{ \frac{AD}{\sin ACD} = 2R_{ADC}}\)

\(\displaystyle{ \frac{AD}{\sin ABD} = 2R_{ABD}}\)

Wydaje mi się, że z tego miejsca łatwo. Gorzej by się liczyło stosunek promieni wpisanych w te trójkąty.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 19 sie 2015, o 18:32

Nawet bez sinusów się obejdzie. Wystarczy użyć znanego wzoru \(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4P}}\) a stosunek pól który zostanie zastąpi się stosunkiem podstaw (stosunek pól trójkątów o jednakowej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw).

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 19 sie 2015, o 21:26

No zgadza się z twierdzenia sinusów bardzo łatwo. Szkoda, że tego nie zauważyłem od razu. A co do tego wzoru na \(\displaystyle{ R}\) z polem, to jako pole jednego z trójkątów będzie \(\displaystyle{ 1/2*|DC|*h}\), a drugiego \(\displaystyle{ 1/2*|BD|*h}\) i nam się skrócą boki \(\displaystyle{ |DC|}\) i \(\displaystyle{ |BD|}\) z licznikiem przez co dostaniemy iloraz \(\displaystyle{ |AB|}\) i \(\displaystyle{ |AC|}\) który jest równy jeden. Zgadza się?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 19 sie 2015, o 22:35

Tak, zgadza się.