Konstrukcja odcinka

mwil25 · Post autor: **mwil25** » 19 sie 2015, o 16:58

Jak skonstruować korzystając z twierdzenia Talesa odcinek o długości \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\)?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 19 sie 2015, o 17:32

W trójkącie prostokątnym opuść wysokość na przeciwprostokątną. Spodek wysokości rozetnie ją na dwa krótsze odcinki. Co możesz powiedzieć o ich długości? Wskazówka: podobieństwo trójkątów.

mwil25 · Post autor: **mwil25** » 19 sie 2015, o 18:10

Wysokość jest równa pierwiastkowi iloczynu długości tych odcinków

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 19 sie 2015, o 18:36

to jaki trójkąt (jakij długości mają być przyprostokątne) musisz wziąć żeby dostać odcinek długości \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\)?

mwil25 · Post autor: **mwil25** » 19 sie 2015, o 18:54

Jakieś podpowiedzi?

Valiors · Post autor: **Valiors** » 19 sie 2015, o 20:05

Skoro \(\displaystyle{ h = \sqrt{xy}}\) (\(\displaystyle{ h}\) to wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka kąta prostego, \(\displaystyle{ x, y}\) to długości odcinków na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną) i masz otrzymać odcinek o długości \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) to wystarczy, że skonstruujesz trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości \(\displaystyle{ a + 1}\), taki że wysokość podzieli tą przeciwprostokątną na długości \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\). Jak to zrobić? Rysujesz okrąg o średnicy długości \(\displaystyle{ a + 1}\) (nazwijmy jej końce \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\), natomiast środek okręgu \(\displaystyle{ O}\)), na tej średnicy odkładamy odcinek \(\displaystyle{ AP}\) długości 1, następnie z punktu \(\displaystyle{ P}\) prowadzimy prostą prostopadłą. Zaznaczamy punkt przecięcia (nazwijmy go \(\displaystyle{ C}\)) tej prostej z okręgiem. Odcinek \(\displaystyle{ CP}\) to wysokość o długości \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\), czyli to co mieliśmy skonstruować. Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny ze względu na twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym w okrąg, które mówi, że miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego. W tym przypadku kąt \(\displaystyle{ AOB}\) jest kątem środkowym o mierze 180 stopni, natomiast \(\displaystyle{ ACB}\) to kąt wpisany, który zgodnie z twierdzeniem, jest równy 90*, z czego wynika, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny.