Tw. odwrotne do tw. Talesa

[revage]

na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i Q, takie że \(\displaystyle{ PC= \frac{2}{3}AP}\)oraz \(\displaystyle{ BC=2.5QC}\). Wykaż że czworokąt ABQP jest trapezem.

obliczony jest stosunek \(\displaystyle{ \frac{AC}{PC} i \frac{CB}{CQ}}\) Dlaczego nie obliczono stosunków odcinków na jednym ramieniu do odcinków na drugim ramieniu, tylko pobrano odcinki korzystając z tego że trójkąty zawierające podane odcinki są podobne ? Sokoro sprawdzamy równoległość, to można sobie przyjąć że PQ i AB są równoległe po to, żeby z podobieństwa obliczyć stosunki ?

[karolex123]

Z założeń mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\left| CP\right| }{\left| PA\right| }= \frac{2}{3}}\)
oraz skoro \(\displaystyle{ \left| BC\right|=2,5\left| CQ\right|}\) to \(\displaystyle{ \left| CQ\right|= \frac{2}{5}\left| BC\right|}\). Zatem \(\displaystyle{ \left| QB\right|= \frac{3}{5} \left| BC\right|}\) skąd \(\displaystyle{ \frac{\left| CQ\right| }{\left| QB\right| }= \frac{2}{3}= \frac{\left| CP\right| }{\left| PA\right| }}\). Stąd odcinki \(\displaystyle{ PQ}\) i \(\displaystyle{ AB}\) są równoległe.

[revage]

czyli można korzystać sobie zalozyc ze sa rownolegle jak musimy to wykazac ?

[Dilectus]

czyli można korzystać sobie zalozyc ze sa rownolegle jak musimy to wykazac ?

Trzeba wykazać, że odcinki \(\displaystyle{ PQ}\) i \(\displaystyle{ AB}\) są równoległe, nie mozna tego założyć. karolex pokazał Ci, jak to zrobić. Można to zrobić nieco inaczej:

Łatwo widać, że \(\displaystyle{ \left| AC\right| = \frac{5}{3}\left| AP\right|}\) - mam nadzieję, że to widzisz.

Skoro tak, to \(\displaystyle{ \frac{\left| AC\right| }{\left| PC\right| }= \frac{ \frac{5}{3}\left| AP\right| }{ \frac{2}{3}\left| AP\right| } = \frac{5}{2} =2,5}\)

Z warunków zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{\left|BC \right| }{\left| QC\right| }= \frac{5}{2}=2,5}\)

Zatem z tw. Talesa widać, że odcinki \(\displaystyle{ PQ}\) i \(\displaystyle{ AB}\) są równoległe, a więc czworokąt \(\displaystyle{ ABQP}\) jest trapezem.

[karolex123]

Oczywiście dowód kolegi wyżej jest równoważny temu, który ja zaproponowałem- w obu przypadkach zostaje wykorzystane twierdzenie odwrotne do tw. Talesa i nikt tu nie zakłada, że odcinki sa równoległe

[revage]

Można z takich proporcji ?: \(\displaystyle{ \frac{\left| AC\right| }{\left| CB\right| } = \frac{\left| PC\right| }{\left| CQ\right| }}\)

[karolex123]

Jak najbardziej, jest ona równoważna proporcji \(\displaystyle{ \frac{\left| AC\right| }{\left| PC\right| }= \frac{\left| BC\right| }{\left| QC\right| }}\). Każdy stosunek będzie dobry, o ile zachowamy odpowiedniość odcinków.