Przekątna czworokąta

[Dario1]

Wykaż, że jeśli każda przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na dwa trójkąty o równych polach, to czworokąt jest równoległobokiem.

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Oznaczmy czworokąt literami\(\displaystyle{ ABCD}\). Przecięcie przekątnych jako \(\displaystyle{ O}\). I spodek wysokości \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ BD}\) jako \(\displaystyle{ A}\)',spodek wysokości \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ BD}\) jako \(\displaystyle{ C'}\), spodek \(\displaystyle{ D}\) jako \(\displaystyle{ D'}\) i \(\displaystyle{ B}\) jako \(\displaystyle{ B'}\). Wtedy z równości pól trójkątów otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |AA'|=|CC'|}\) oraz \(\displaystyle{ |CC'|=|DD'|}\), a stąd mamy, że trójkąty \(\displaystyle{ AA'O}\) oraz \(\displaystyle{ CC'O}\) są podobne oraz trójkąty \(\displaystyle{ BB'O}\) i \(\displaystyle{ DD'O}\). Z tego mamy, że przekątne przecinają się w połowie. Można jeszcze zauważyć, że wtedy trójkąty \(\displaystyle{ ABO}\) oraz \(\displaystyle{ DOC}\) są podobne oraz trójkąty \(\displaystyle{ ADO}\) oraz\(\displaystyle{ BOC}\). Zatem kąty naprzemianległe w czworokącie będą równe co da nam równoległobok.

[karolex123]

Trójkąty, o których mówisz, że są podobne są w rzeczy samej przystające i wtedy \(\displaystyle{ \left| BO\right| =\left| OD\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| AO\right|=\left| OC\right|}\). Zatem czworokąt ten jest równoległobokiem.
Ps. To, że jeśli przekątne czworokąta dzielą się na połowy to jest to równoległobok, wynika z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa.

[Dario1]

Ale ogólnie dobrze? A jak to wynika z twierdzenia odwrotnego do Talesa bo jakoś tego nie widzę.

[karolex123]

Niestety nie jest dobrze, dopóki nie podkreślisz, że odpowiednie trójkąty są nie tylko podobne, a także przystające.
Mamy \(\displaystyle{ \frac{\left| OA\right| }{\left| OC\right| }= \frac{\left| OD\right| }{\left| OB\right| }}\), zatem proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe (tak samo proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\)).