W trójkącie ABC

[Dario1]

W trójkącie ABC miara największego kąta równa się podwojonej mierze najmniejszego kąta trójkąta. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Znajdź długości boków i cosinusy kątów trójkąta.

[macik1423]

Może takie coś:
z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+2}{\sin 2\alpha}}\)
z tego wyjdzie
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{a+2}{2a}}\)
i podstawić to twierdzenia kosinusów:
\(\displaystyle{ a^{2}=(a+1)^{2}+(a+2)^{2}-2\cdot (a+1)(a+2)\cdot \cos \alpha}\)

[Dario1]

No tak właśnie zrobiłem. Byłem ciekaw czy jakieś inne sposoby tu są możliwe. Na przykład dwukrotnie z twierdzenia sinusów albo 2-krotnie z tw. cosinusów?

[macik1423]

Można i z dwukrotnego użycia twierdzenia sinusów:

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+2}{\sin 2\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{a+2}{2a};}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+1}{ \sin (180^{\circ}-3\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+1}{ \sin 3\alpha}}\)

(*) \(\displaystyle{ a\sin 3\alpha=(a+1)\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^{3} \alpha}\)

podstawić \(\displaystyle{ \cos \alpha, \sin 3\alpha}\) do (*)