W trójkącie ABC
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
W trójkącie ABC
W trójkącie ABC miara największego kąta równa się podwojonej mierze najmniejszego kąta trójkąta. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Znajdź długości boków i cosinusy kątów trójkąta.
-
- Użytkownik
- Posty: 875
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: R do M
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 234 razy
W trójkącie ABC
Może takie coś:
z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+2}{\sin 2\alpha}}\)
z tego wyjdzie
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{a+2}{2a}}\)
i podstawić to twierdzenia kosinusów:
\(\displaystyle{ a^{2}=(a+1)^{2}+(a+2)^{2}-2\cdot (a+1)(a+2)\cdot \cos \alpha}\)
z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+2}{\sin 2\alpha}}\)
z tego wyjdzie
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{a+2}{2a}}\)
i podstawić to twierdzenia kosinusów:
\(\displaystyle{ a^{2}=(a+1)^{2}+(a+2)^{2}-2\cdot (a+1)(a+2)\cdot \cos \alpha}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
W trójkącie ABC
No tak właśnie zrobiłem. Byłem ciekaw czy jakieś inne sposoby tu są możliwe. Na przykład dwukrotnie z twierdzenia sinusów albo 2-krotnie z tw. cosinusów?
-
- Użytkownik
- Posty: 875
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: R do M
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 234 razy
W trójkącie ABC
Można i z dwukrotnego użycia twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+2}{\sin 2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{a+2}{2a};}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+1}{ \sin (180^{\circ}-3\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+1}{ \sin 3\alpha}}\)
(*) \(\displaystyle{ a\sin 3\alpha=(a+1)\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^{3} \alpha}\)
podstawić \(\displaystyle{ \cos \alpha, \sin 3\alpha}\) do (*)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+2}{\sin 2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{a+2}{2a};}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+1}{ \sin (180^{\circ}-3\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{a+1}{ \sin 3\alpha}}\)
(*) \(\displaystyle{ a\sin 3\alpha=(a+1)\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^{3} \alpha}\)
podstawić \(\displaystyle{ \cos \alpha, \sin 3\alpha}\) do (*)