Nietrudne o równoległoboku
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11414
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Nietrudne o równoległoboku
W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ M}\) są środkami boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ |AK|=6}\) zaś \(\displaystyle{ |AM|=3}\) i kąt \(\displaystyle{ KAM=60^{o}}\). Ile to jest \(\displaystyle{ |AD|}\) ?
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Nietrudne o równoległoboku
Przedłużamy \(\displaystyle{ AM}\) do przecięcia się z \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Wtedy \(\displaystyle{ |KE|=\frac{3}{2}|AD|}\). Ponieważ trójkąt \(\displaystyle{ \Delta AKE}\) jest równoramienny i ma kąt \(\displaystyle{ 60^\circ}\), to jest równoboczny i \(\displaystyle{ |KE|=6}\), skąd od razu mamy \(\displaystyle{ |AD|=4}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 875
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: R do M
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 234 razy
Nietrudne o równoległoboku
Udało mi się rozwiązać mniej elegancko niż poprzednik:
Trójkąt \(\displaystyle{ \Delta AKM}\) jest prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ K}\).
Kąt \(\displaystyle{ \angle MOB=30^{\circ}}\). Długość przekątnej \(\displaystyle{ |DB|=6\sqrt{3}}\) Z twierdzenia Talesa dla trójkątów \(\displaystyle{ ADO}\) i \(\displaystyle{ BOM}\)
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6-|OM|}=\frac{|BM|}{|OM|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6-|OM|}=\frac{\frac{1}{2}|AD|}{|OM|}}\)
\(\displaystyle{ |OM|=2}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6\sqrt{3}-|OB|}=\frac{\frac{1}{2}|AD|}{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ |OB|=2\sqrt{3}}\)
I z twierdzenia kosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ DOA}\) można wyliczyć, że \(\displaystyle{ |AD|=4}\).
Trójkąt \(\displaystyle{ \Delta AKM}\) jest prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ K}\).
Kąt \(\displaystyle{ \angle MOB=30^{\circ}}\). Długość przekątnej \(\displaystyle{ |DB|=6\sqrt{3}}\) Z twierdzenia Talesa dla trójkątów \(\displaystyle{ ADO}\) i \(\displaystyle{ BOM}\)
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6-|OM|}=\frac{|BM|}{|OM|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6-|OM|}=\frac{\frac{1}{2}|AD|}{|OM|}}\)
\(\displaystyle{ |OM|=2}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6\sqrt{3}-|OB|}=\frac{\frac{1}{2}|AD|}{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ |OB|=2\sqrt{3}}\)
I z twierdzenia kosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ DOA}\) można wyliczyć, że \(\displaystyle{ |AD|=4}\).