Pole równoległoboku

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Pole równoległoboku

Post autor: mol_ksiazkowy »

Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) bedzie równoległobokiem, \(\displaystyle{ |AB|=2}\), kąt \(\displaystyle{ BAD = 45^{o}}\). Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są na przekątnej \(\displaystyle{ BD}\), zaś kąty \(\displaystyle{ AEB}\) i \(\displaystyle{ CFD}\) są rowne \(\displaystyle{ 90^{o}}\) a \(\displaystyle{ |BF|= \frac{3}{2}|BE|}\).
Ile to \(\displaystyle{ P(ABCD)}\) ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Pole równoległoboku

Post autor: Premislav »

W najbardziej napałowym podejściu staralibyśmy się policzyć długość wysokości opuszczonej na bok \(\displaystyle{ AB}\). Trywialny rachunek na kątach+chwila refleksji daje przystawanie trójkątów \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ CFD}\), a potem jeszcze trochę zabawy z trójkątami podobnymi (zwłaszcza \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ BLD}\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) jest punktem, w którym wysokość równoległoboku opuszczona na bok \(\displaystyle{ AB}\) z punktu \(\displaystyle{ D}\) przecina \(\displaystyle{ AB}\), czy jak to tam zgrabnie nazwać - od lat nie miałem do czynienia z geometrią).
Ostatnio za dużo blefów nastrzelałem, więc sprawdzę swoje pełne rozwiązanie, zanim wrzucę, ale to po spacerze.

-- 4 sie 2015, o 19:01 --

Nie no, za gorąco jest, nie chce mi się tego przepisywać w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u. Zadanie raczej mało ciekawe (chyba że istnieje proste i łądne rozw. omijające moje brzydkie rachunki - niewykluczone), więc żadna strata. W skrócie: \(\displaystyle{ h}\)-wysokość opuszczona z punktu \(\displaystyle{ D}\) na bok \(\displaystyle{ AB}\); jak wyżej pokazuję, że trójkąty \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ FCD}\) są przystające (z rachunku kątów wynika, że są podobne i potem wyliczamy skalę podobieństwa po stosunku odp. boków), potem oznaczam \(\displaystyle{ L}\) -punkt, w którym wysokość opuszczona z \(\displaystyle{ D}\) na \(\displaystyle{ AB}\) tnie ten bok, zauważam podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ BLD}\) i \(\displaystyle{ ABE}\), oznaczam \(\displaystyle{ \left| BE \right|=x}\), stwierdzam, że \(\displaystyle{ \left| AL\right|=h}\), no bo mam miarę kąta \(\displaystyle{ BAD}\), wyliczam ze stosunku odpowiednich boków, że
\(\displaystyle{ x= \frac{2 \sqrt{2-h} }{ \sqrt{5 } }}\) (tu może być błąd - nie umiem liczyć; ale sprawdzałem ze dwa razy i nie zdołałem wykryć ewentualnej pomyłki), tak więc z uwag o trójkątach przystających i z informacji z treści że \(\displaystyle{ |BF|= \frac{3}{2}|BE|}\) otrzymuję \(\displaystyle{ \left| BD\right|= \sqrt{10-5h}}\). Wstawiam to do Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ BLD}\) i otrzymuję równanie
\(\displaystyle{ h^{2}+(2-h)^{2}=10-5h}\), którego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\), ale wysokość nie może mieć ujemnej długości, więc \(\displaystyle{ h= \frac{3}{2}}\), tj. szukane pole jest równe \(\displaystyle{ 3}\).
Awatar użytkownika
Michalinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 495
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 104 razy

Pole równoległoboku

Post autor: Michalinho »

To ja zaproponuję inne rozwiązanie:
Nasze pole wynosi oczywiście \(\displaystyle{ P=2h}\), więc wyznaczymy \(\displaystyle{ h}\). Zrobimy to z twierdzenia van Aubela dla trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\). Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie ortocentrum.
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}+\frac{2-h}{h}=\frac{(2-h)\sqrt{2}}{\sqrt{2}-(2-h)\sqrt{2}}}\). Po wymnożeniu otrzymujemy \(\displaystyle{ 2h^2+h-6=0 \Leftrightarrow (h+2)(h-\frac{3}{2})=0}\) I stąd pole wynosi \(\displaystyle{ 3}\).
ODPOWIEDZ