pięciokąt wypukły, jednokładność

[wielkireturner]

W pięciokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCDE}\) boki \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ BC}\) są równoległe oraz \(\displaystyle{ \angle ADE = \angle BDC}\). Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BE}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle EAD = \angle BDP}\) oraz \(\displaystyle{ \angle CBD = \angle ADP}\).

[Michalinho]

Rozważmy jednokładność \(\displaystyle{ J}\) o środku \(\displaystyle{ P}\) i skali \(\displaystyle{ \frac{|PC|}{|PA|}}\). Niech \(\displaystyle{ D'=J(D)}\). Z założenia i własności jednokładności \(\displaystyle{ \angle AD'E=\angle CDB=\angle ADE}\). Stąd czworokąt \(\displaystyle{ AD'DE}\) jest cykliczny i mamy \(\displaystyle{ \angle EAD=\angle ED'D=J(\angle ED'D)=\angle BDD'=\angle BDP}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \angle CBD=\angle ADP}\)