Cięciwy i okrąg

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 3 sie 2015, o 11:22

Ile możliwych części będzie z okręgu jeśli narysowano na nim trzy cięciwy ?

Ukryta treść:

kerajs · Post autor: **kerajs** » 3 sie 2015, o 12:09

Ponieważ treść zadania nie jest dla mnie jednoznaczna to podaję możliwe interpretacje:

Ile możliwych części będzie z okręgu jeśli narysowano na nim (przecięto go) trzy cięciwy ?

ilośc łuków: \(\displaystyle{ 2,3,4,5,6}\)

Ile możliwych części będzie z okręgu jeśli narysowano na nim (przecięto go) trzy cięciwy ?
jeśli dodatkowo wszystkie te części mają mieć te same pola…

\(\displaystyle{ 0}\) (bo łuki nie mają pola)

Ile możliwych części będzie z okręgu jeśli narysowano na nim (przecięto go) trzy cięciwy ?
jeśli dodatkowo wszystkie te części mają mieć taką samą długość…

Ilość łuków okręgu o jednakowej długości : \(\displaystyle{ 2,3,4,5,6}\)

Ile możliwych części będzie z koła jeśli narysowano na nim (przecięto go) trzy cięciwy ?

ilośc otrzymanych części koła : \(\displaystyle{ 2,3,4,5,6,7}\)

Ile możliwych części będzie z koła jeśli narysowano na nim (przecięto go) trzy cięciwy ?
jeśli dodatkowo wszystkie te części mają mieć te same pola…

ilośc części koła o równym polu : \(\displaystyle{ 2,3,4,6}\)

Chyba

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 4 sie 2015, o 18:07

Ile możliwych części będzie z koła jeśli narysowano na nim (przecięto go) trzy cięciwy ?
jeśli dodatkowo wszystkie te części mają mieć te same pola…

ilośc części koła o równym polu : \(\displaystyle{ 2,3,4,6}\)

czy nie mogą być inne (i dlaczego)...?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 8 sie 2015, o 10:43

mol_ksiazkowy pisze:czy nie mogą być inne (i dlaczego)...?

1. Podział na pięć równych pól:
a) Pierwsza cięciwa odcina z koła pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{2}{5} \pi r^2}\) . Łuk okręgu który odcina odpowiada kątowi środkowemu o mierze około \(\displaystyle{ 161 ^{\circ}50 ^{'} 57^{''}}\)
b) Druga cięciwa także odcina z koła pole w wartości \(\displaystyle{ \frac{2}{5} \pi r^2}\) , a jednocześnie z kawałka odciętego pierszą z cięciw odcina pole w wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{5} \pi r^2}\) . To wspólne pole zawiera łuk odpowiadający kątowi środkowemu o mierze około \(\displaystyle{ 87 ^{\circ}41 ^{'} 49^{''}}\)
c) Z koła pozostał trójkąt krzywoliniowy zawierający łuk ograniczającego go okręgu o mierze około \(\displaystyle{ 123 ^{\circ}59 ^{'} 55^{''}}\). Jeżeli podział byłby możliwy to ostatnia cięciwa powinna przeciąć ten łuk odcinając pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{5} \pi r^2}\).
d) I okazuje się, że cięciwa odciająca pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{5} \pi r^2}\) zawiera łuk o mierze około \(\displaystyle{ 121^{\circ}4^{'} 20^{''}}\), co oznacza że podział na 5 równych pól jest możliwy.
Moja intuicyjna odpowiedż z poprzedniego postu wykluczająca ten podział okazała się błędna.

2. Podział na siedem równych pól:
a) Pierwsza cięciwa odcina z koła pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) . Łuk okręgu który odcina odpowiada kątowi środkowemu o mierze \(\displaystyle{ \approx 167 ^{\circ}5 ^{'} 18^{''}}\)
b) Aby podział był możliwy to kolejna cięciwa odcinająca z koła pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) i jednocześnie powinna zawierać fragment wycięty przez pierwszą cięciwę o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{7} \pi r^2}\). Analogicznie trzecia powinna także odcinać z koła pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) i jednocześnie powinna zawierać fragmenty wycięte przez pierwszą i drugą cięciwę o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{7} \pi r^2}\).
c)Gdyby tak było to wewnątrz koła pozostałby trójkąt równoboczny o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{7} \pi r^2}\), a odległość jego boku od środka okręgu wynosiłoby \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{ \pi \sqrt{3} }{7} }r \approx 0,29389r}\)
d) Jednak odległość cięciwy odcinającej pole o wartości \(\displaystyle{ \frac{3}{7} \pi r^2}\) od środka okręgu wynosi około \(\displaystyle{ 0,11244r}\) co oznacza że podział koła trzema cięciwami na 7 równych części nie jest możliwy.